设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )．

admin2019-12-20 22

问题设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )．

选项 A、∫₀^xf(t²)dt
B、∫₀^xf²(t)dt
C、∫₀^xf[f(t)－f(－t)]dt
D、∫₀^xt(t)+f(－t)]dt

答案D

解析对于D项，令F(x)=∫₀^x[tf(t)+f(－t)]dt，则F(－x)=∫₀^－xt[f(t)+f(－t)]dt，令t=－u，则 dt=－du，所以
F(－x)=∫₀^－xt[f(t)+f(－t)]dt=∫₀^x(－u)[f(－u)+f(u)](－du)
=∫₀^xu[f(－u)+f(u)du=F(x)，
所以D项为偶函数．同理证得A，C项为奇函数，而B项不确定，如f(t)=1+t．故应选D．

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