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  3. 设a1＞1，又an+1=1+lnan． (Ⅰ)证明：方程x=1+lnx有唯一解，并求其解； (Ⅱ)存在，并求此极限．

设a1＞1，又an+1=1+lnan． (Ⅰ)证明：方程x=1+lnx有唯一解，并求其解； (Ⅱ)存在，并求此极限．

admin2022-12-09  5
问题 设a1＞1，又an+1=1+lnan．
(Ⅰ)证明：方程x=1+lnx有唯一解，并求其解；
(Ⅱ)存在，并求此极限．
选项
答案(Ⅰ)令f(x)=x-1-㏑x(x＞0)， 由f′(x)=1-1/x=0得x=1， 当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0， 则x=1为f(x)在(0，+∞)内的最小值点，最小值为m=f(1)=0， 故方程x=1+㏑x只有唯一解x=1． (Ⅱ)已知a1＞1， 设ak＞1，则ak+1=1+㏑ak＞1， 由数学归纳法，对任意的n，有an＞1； 由拉格朗日中值定理得 ㏑an=㏑an-㏑1=(an-1)/ξ＜an-1，其中1＜ξ＜an， 于是an+1=1+㏑an＜1+an-1=an，即数列{an}单调递减， [*] 由an+1=1+㏑an得A=1+㏑A，解得A=1．
解析
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考研数学三

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