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  3. 试利用导数极限定埋证明：导函数不能具有第一类间断点．

试利用导数极限定埋证明：导函数不能具有第一类间断点．

admin2022-11-23  99
问题 试利用导数极限定埋证明：导函数不能具有第一类间断点．
选项
答案首先用反证法证明导函数f’(x)不能有可去间断点．若点x0为f’(x)的可去间断点，则[*]存在；而f(x)在点x0连续，故由导数极限定理，有[*]=f’(x0)．这与点x0为f’(x)的可去间断点相矛盾． 再用反证法证明f’(x)不能具有跳跃间断点．若f’(x)有跳跃间断点x0，则存在左、右邻域U-(x0)，U+(x0)，f(x)在这两个邻域上连续，且[*]存在，于是f(x)在U-(x0)和U+(x0)上满足单侧导数极限定理的条件，即有 f’-(x0)=f’(x0-0)，f’+(x0)=f’(x0+0)， 由于f’(x0-0)≠f’(x0+0)，因此f’+(x0)≠f’-(x0)，这与f(x)在点x0处可导矛盾． 综上证得导函数不能有第一类间断点．
解析
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考研数学一

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