已知三角形的三边a、b、c满足等式a3+b3+c3=3abc，这个三角形的外接圆面积与内切圆面积之比为( )。

admin2023-03-29 47

问题已知三角形的三边a、b、c满足等式a³+b³+c³=3abc，这个三角形的外接圆面积与内切圆面积之比为( )。

选项 A、2
B、3
C、4
D、6
E、8

答案C

解析由a³+b³+c³=3abc，即(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0
因为a+b+c≠0，所以a²+b²+c²-ab-bc-ca=0
所以(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)=0，
所以(a-b)²=(b-c)²=(c-a)²=0，得a=b=c，因此这个三角形是等边三角形，其外接圆的半径为内切圆半径的2倍，故面积为4倍。

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