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[2002年] 设0<x1<3,xn+1=(n=1,2,…),证明数列{xn}的极限存在,并求此极限.
[2002年] 设0<x1<3,xn+1=(n=1,2,…),证明数列{xn}的极限存在,并求此极限.
admin
2021-01-19
70
问题
[2002年] 设0<x
1
<3,x
n+1
=
(n=1,2,…),证明数列{x
n
}的极限存在,并求此极限.
选项
答案
对于含递推项的极限存在性的证明,常用命题1.1.4.1证之. 证 只需证数列{x
n
}单调有界.由题设0<x
1
<3知x
1
,3-x
1
均为正数,故 0<x
2
=[*]≤(x
1
+3一x
1
)/2=3/2. 下面进行数学归纳得到一般结论.设当k>1时,0<x
k
≤3/2,则 0<x
k+1
=[*]≤(x
k
+3一x
k
)/2=3/2. 由数学归纳法知,对任意正整数n>1,均有0<x
n
<3/2,即数列{x
n
}有上界.只需证数列单调增加.为此证n>l时,有 x
n+1
-x
n
=[*] =[*](因为x
n
≤3/2) (或证当n≥l时,[*]=1). 因而有x
n+1
≥x
n
(n≥1),即数列{x
n
}单调增加,这就证明了数列{x
n
}的极限存在. 设[*]x
n
=a,在x
n+1
=[*]两边取极限,得a=[*]由此解得a=3/2. a=0(舍去),故[*]x
n
=3/2.
解析
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考研数学二
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