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  3. [2002年] 设0＜x1＜3，xn+1=(n=1，2，…)，证明数列{xn}的极限存在，并求此极限．

[2002年] 设0＜x1＜3，xn+1=(n=1，2，…)，证明数列{xn}的极限存在，并求此极限．

admin2021-01-19  70
问题 [2002年]  设0＜x1＜3，xn+1=(n=1，2，…)，证明数列{xn}的极限存在，并求此极限．
选项
答案对于含递推项的极限存在性的证明，常用命题1．1．4．1证之． 证 只需证数列{xn}单调有界．由题设0＜x1＜3知x1，3－x1均为正数，故 0＜x2=[*]≤(x1+3一x1)／2=3／2． 下面进行数学归纳得到一般结论．设当k＞1时，0＜xk≤3／2，则 0＜xk+1=[*]≤(xk+3一xk)／2=3／2． 由数学归纳法知，对任意正整数n＞1，均有0＜xn＜3／2，即数列{xn}有上界．只需证数列单调增加．为此证n＞l时，有 xn+1－xn=[*] =[*](因为xn≤3／2) (或证当n≥l时，[*]=1). 因而有xn+1≥xn(n≥1)，即数列{xn}单调增加，这就证明了数列{xn}的极限存在． 设[*]xn=a，在xn+1=[*]两边取极限，得a=[*]由此解得a=3／2. a=0(舍去)，故[*]xn=3／2．
解析
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考研数学二

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