首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn—r+1,是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=kη1η1+…+kn—r+1+ηn—r—1,其中k1+…+kn—r+1=1。
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn—r+1,是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=kη1η1+…+kn—r+1+ηn—r—1,其中k1+…+kn—r+1=1。
admin
2017-01-21
35
问题
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η
1
,…,η
n—r+1
,是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=kη
1
η
1
+…+k
n—r+1
+η
n—r—1
,其中k
1
+…+k
n—r+1
=1。
选项
答案
设x为Ax=b的任一解,由题设知η
1
,η
2
,…,η
n—r+1
线性无关且均为Ax=b的解。 取ξ
1
=η
2
—η
1
,ξ
2
=η
3
—η
1
,…,ξ
n—r
=η
n—r+1
—η
1
,根据线性方程组解的结构,它们均为对应齐次方程Ax=0的解。 下面用反证法证: 设ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性相关,则存在不全为零的数l
1
,l
2
,…,l
n—r
使得 l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
+…+l
n—r
ξ
n—r
=0, 即 l
1
(η
2
—η
1
)+l
2
(η
3
—η
1
)+…+l
n—r
(η
n—r+1
—η
1
)=0, 也即 一(l
1
+l
2
+…+l
n—r
)η
1
+l
1
η
2
+l
2
η
3
+…+l
n—r
η
n—r+1
=0。 由η
1
,η
2
,…,η
n—r+1
线性无关知 一(l
1
+l
2
+…+l
n—r
)=l
1
=l
2
=…=l
n—r
=0, 这与l
1
,l
2
,…,l
n—r
不全为零矛盾,故假设不成立。因此ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性无关,是Ax=0的基础解系。 由于x,η
1
均为Ax=b的解,所以x—η
1
为Ax=0的解,因此z—η
1
可由ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性表示,设 x—η
1
=k
2
ξ
1
+k
3
ξ
2
+…+k
n—r+1
ξ
n—r
=k
2
(η
2
—η
1
)+k
3
(η
3
—η
1
)+…+k
n—r+1
(η
n—r+1
—η
1
), 则x=η
1
(1—k
2
—k
3
—…—k
n—r+1
)+k
2
η
2
+k
3
η
3
+…+k
n—r+1
η
n—r+1
, 令k
1
=1—k
2
—k
3
—…—k
n—r+1
,则k
1
+k
2
+k
3
+…+k
n—r+1
=1,从而 x=k
1
η
1
+k
2
η
2
+…+k
n—r+1
η
n—r+1
恒成立。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/12H4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证:对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f’(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1.
设二元函数z=xex+y+y+(x+1)ln(1+y),则dx|(1,0)=________.
差分方程yt+1-yt=t2t的通解为_________.
设A是m×n阶矩阵,下列命题正确的是().
设n维向量α=(a,0,…,0,a)Ta>0,E为n阶单位矩阵,矩阵A=E-ααT,B=其中A的逆矩阵为B,则a=________.
求一个正交变换,化二次型f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x2-8x2x3为标准形.
设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为____________.
已知二次型f(x1,x2,x3)=x12+5x22+x32+2x1x2+2ax2x3为正定二次型,则a的取值范围________.
当x→0时,(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小,而xsinxn是比ex2-1高阶的无穷小,则正整数n=________.
设x轴正向到方向l的转角为ψ,求函数f(x,y)=x2-xy+y2在点(1,1)沿方向z的方向导数,并分别确定转角ψ,使得方向导数有(1)最大值,(2)最小值,(3)等于0.
随机试题
()项目管理模式在国际上最为通用,世界银行、亚洲开发银行贷款项目和采用国际咨询工程师联合会(FIDIC)的合同条件的项目均采用这种模式。
给定资料: 1.2014年6月6日下午两点多,驻马店文化路的一家按摩店门前,敲锣打鼓,秧歌红绸,鞭炮轰鸣……这是十几位盲友为河南盲人高考第一人——李金生参加高考而助威。随后,李金生和盲友们到汽车站坐班车前往考点。 到达考点附近已是下午5点多,确山县招生
图中标志的含义是________。
上呼吸道指的是
男,68岁。间断咳嗽、咳痰10余年,活动性气短2年。曾行胸片示:双肺纹理增粗、紊乱。膈肌低平。吸烟史40年,1包/天,已戒3年。该患者血气分析示:pH7.37,PaO265mmHg,PaCO242mmHg,引起该患者血气分析异常最主要的机制是
已知图示两个梁的抗弯截面刚度EI相同,若二者自由端的挠度相等,则P1/P2为:
设函数f(x)=在x=1处可导,则a,b的值分别为().
两个递增序列A和B的长度分别为m和n(m<n),将两者归并为一个长度为m+n的递增序列时,______,归并过程中元素的比较次数最少。A.当A的最大元素大于B的最大元素时B.当A的最大元素小于B的最小元素时C.当A的最小元素大于B的最小元素时D.当
决定一个窗体有无“控制”菜单的属性是()。
Hasyourchildcrackedabookthissummer?Althoughadultsoftenjumpatthechancetocatchupontheirreadingduringvaca
最新回复
(
0
)