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  3. 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，…，ηn—r+1，是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=kη1η1+…+kn—r+1+ηn—r—1，其中k1+…+kn—r+1=1。

设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，…，ηn—r+1，是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=kη1η1+…+kn—r+1+ηn—r—1，其中k1+…+kn—r+1=1。

admin2017-01-21  51
问题 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r，η1，…，ηn—r+1，是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=kη1η1+…+kn—r+1+ηn—r—1，其中k1+…+kn—r+1=1。
选项
答案设x为Ax=b的任一解，由题设知η1，η2，…，ηn—r+1线性无关且均为Ax=b的解。 取ξ1=η2—η1，ξ2=η3—η1，…，ξn—r=ηn—r+1—η1，根据线性方程组解的结构，它们均为对应齐次方程Ax=0的解。 下面用反证法证： 设ξ1，ξ2，…，ξn—r线性相关，则存在不全为零的数l1，l2，…，ln—r使得 l1ξ1+l2ξ2+…+ln—rξn—r=0， 即 l1（η2—η1）+l2（η3—η1）+…+ln—r（ηn—r+1—η1）=0， 也即 一（l1+l2+…+ln—r）η1+l1η2+l2η3+…+ln—rηn—r+1=0。 由η1，η2，…，ηn—r+1线性无关知 一（l1+l2+…+ln—r）=l1=l2=…=ln—r=0， 这与l1，l2，…，ln—r不全为零矛盾，故假设不成立。因此ξ1，ξ2，…，ξn—r线性无关，是Ax=0的基础解系。 由于x，η1均为Ax=b的解，所以x—η1为Ax=0的解，因此z—η1可由ξ1，ξ2，…，ξn—r线性表示，设 x—η1=k2ξ1+k3ξ2+…+kn—r+1ξn—r =k2（η2—η1）+k3（η3—η1）+…+kn—r+1（ηn—r+1—η1）， 则x=η1（1—k2—k3—…—kn—r+1）+k2η2+k3η3+…+kn—r+1ηn—r+1， 令k1=1—k2—k3—…—kn—r+1，则k1+k2+k3+…+kn—r+1=1，从而 x=k1η1+k2η2+…+kn—r+1ηn—r+1恒成立。
解析
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考研数学三

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