首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn—r+1,是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=kη1η1+…+kn—r+1+ηn—r—1,其中k1+…+kn—r+1=1。
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn—r+1,是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=kη1η1+…+kn—r+1+ηn—r—1,其中k1+…+kn—r+1=1。
admin
2017-01-21
53
问题
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η
1
,…,η
n—r+1
,是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=kη
1
η
1
+…+k
n—r+1
+η
n—r—1
,其中k
1
+…+k
n—r+1
=1。
选项
答案
设x为Ax=b的任一解,由题设知η
1
,η
2
,…,η
n—r+1
线性无关且均为Ax=b的解。 取ξ
1
=η
2
—η
1
,ξ
2
=η
3
—η
1
,…,ξ
n—r
=η
n—r+1
—η
1
,根据线性方程组解的结构,它们均为对应齐次方程Ax=0的解。 下面用反证法证: 设ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性相关,则存在不全为零的数l
1
,l
2
,…,l
n—r
使得 l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
+…+l
n—r
ξ
n—r
=0, 即 l
1
(η
2
—η
1
)+l
2
(η
3
—η
1
)+…+l
n—r
(η
n—r+1
—η
1
)=0, 也即 一(l
1
+l
2
+…+l
n—r
)η
1
+l
1
η
2
+l
2
η
3
+…+l
n—r
η
n—r+1
=0。 由η
1
,η
2
,…,η
n—r+1
线性无关知 一(l
1
+l
2
+…+l
n—r
)=l
1
=l
2
=…=l
n—r
=0, 这与l
1
,l
2
,…,l
n—r
不全为零矛盾,故假设不成立。因此ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性无关,是Ax=0的基础解系。 由于x,η
1
均为Ax=b的解,所以x—η
1
为Ax=0的解,因此z—η
1
可由ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性表示,设 x—η
1
=k
2
ξ
1
+k
3
ξ
2
+…+k
n—r+1
ξ
n—r
=k
2
(η
2
—η
1
)+k
3
(η
3
—η
1
)+…+k
n—r+1
(η
n—r+1
—η
1
), 则x=η
1
(1—k
2
—k
3
—…—k
n—r+1
)+k
2
η
2
+k
3
η
3
+…+k
n—r+1
η
n—r+1
, 令k
1
=1—k
2
—k
3
—…—k
n—r+1
,则k
1
+k
2
+k
3
+…+k
n—r+1
=1,从而 x=k
1
η
1
+k
2
η
2
+…+k
n—r+1
η
n—r+1
恒成立。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/12H4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分到84分之间的概率.[附表]其中Ф(x)表示标准正态分布函数.
设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中线性无关的是().
设二维随机变量X和Y的联合概率密度为求X和Y的联合分布F(x,y).
已知抛物线y=px2+qx(其中p<0,q>0)在第一象限内与直线x+y=5相切,且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S.(I)问p和q何值时,S达到最大值?(Ⅱ)求出此最大值.
设齐次线性方程组其中a≠0,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解、无穷多组解?在有无穷多解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解.
设幂级数anxn的收敛半径为3,则幂级数nan(x-1)n+1的收敛区间是
若4阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5,则行列式丨B-1-E丨=__________.
设正数列{an}满足,则极限=
设(I)求证:f(x)在[0,+∞)上连续;(Ⅱ)求f(x)在[0,+∞)的单调性区间;(III)求f(x)在[0,+∞)的最大值与最小值.
设{an}与{bn}为两个数列,下列说法正确的是().
随机试题
留间隙不开坡口的双面埋弧焊的操作工艺是怎样的?
发电机启动升压过程中为什么要监视转子电流和定子电流?
对于质子泵的叙述,恰当的是
A.羊水肌酐值B.羊水淀粉酶值C.羊水胆红素类物质值D.羊水卵磷脂/鞘磷脂比值E.羊水中含脂肪细胞出现率
女,42岁。双手指间关节疼痛半年,左腕关节肿痛4周。查体:左腕关节肿胀,压痛(+),双手第2、4、5近端指间关节压痛(+),无肿胀。化验:ESR45mm/h,CRP18.7mg/L(正常<8mg/L),RF(一),抗CCP抗体152RU/ml(正常<5RU
依照《证券法》,下列哪些选项属于大天上市公司临时报告中应披露的“重大事件”?()
以下选项中不属于目前使用较好的护炉铁件的是()。
甲上市公司自行研究开发一项专利技术,与该项专利技术有关的资料如下:(1)20×7年1月,该项研发活动进入开发阶段,以银行存款支付的开发费用280万元,其中满足资本化条件的为150万元。20×8年7月1日,开发活动结束,并按法律程序申请取得专利权,供
一、注意事项1.申论考试是对应考者阅读理解能力、综合分析能力、提出和解决问题能力、文字表达能力的测试。2.仔细阅读给定资料,按照后面提出的“申论要求”作答。二、给定资料1.2008年5月12日,四川汶川发生8.0级地震,举国上下全力抗震救灾
我国《宪法》规定人民行使国家权力的机关是( )。
最新回复
(
0
)