设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn—r+1,是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=kη1η1+…+kn—r+1+ηn—r—1,其中k1+…+kn—r+1=1。

admin2017-01-21  33

问题 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn—r+1,是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=kη1η1+…+kn—r+1n—r—1,其中k1+…+kn—r+1=1。

选项

答案设x为Ax=b的任一解,由题设知η1,η2,…,ηn—r+1线性无关且均为Ax=b的解。 取ξ12—η1,ξ23—η1,…,ξn—rn—r+1—η1,根据线性方程组解的结构,它们均为对应齐次方程Ax=0的解。 下面用反证法证: 设ξ1,ξ2,…,ξn—r线性相关,则存在不全为零的数l1,l2,…,ln—r使得 l1ξ1+l2ξ2+…+ln—rξn—r=0, 即 l1(η2—η1)+l2(η3—η1)+…+ln—r(ηn—r+1—η1)=0, 也即 一(l1+l2+…+ln—r)η1+l1η2+l2η3+…+ln—rηn—r+1=0。 由η1,η2,…,ηn—r+1线性无关知 一(l1+l2+…+ln—r)=l1=l2=…=ln—r=0, 这与l1,l2,…,ln—r不全为零矛盾,故假设不成立。因此ξ1,ξ2,…,ξn—r线性无关,是Ax=0的基础解系。 由于x,η1均为Ax=b的解,所以x—η1为Ax=0的解,因此z—η1可由ξ1,ξ2,…,ξn—r线性表示,设 x—η1=k2ξ1+k3ξ2+…+kn—r+1ξn—r =k2(η2—η1)+k3(η3—η1)+…+kn—r+1(ηn—r+1—η1), 则x=η1(1—k2—k3—…—kn—r+1)+k2η2+k3η3+…+kn—r+1ηn—r+1, 令k1=1—k2—k3—…—kn—r+1,则k1+k2+k3+…+kn—r+1=1,从而 x=k1η1+k2η2+…+kn—r+1ηn—r+1恒成立。

解析
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