首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn—r+1,是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=kη1η1+…+kn—r+1+ηn—r—1,其中k1+…+kn—r+1=1。
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,…,ηn—r+1,是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=kη1η1+…+kn—r+1+ηn—r—1,其中k1+…+kn—r+1=1。
admin
2017-01-21
65
问题
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η
1
,…,η
n—r+1
,是它的n—r+1个线性无关的解。试证它的任一解可表示为x=kη
1
η
1
+…+k
n—r+1
+η
n—r—1
,其中k
1
+…+k
n—r+1
=1。
选项
答案
设x为Ax=b的任一解,由题设知η
1
,η
2
,…,η
n—r+1
线性无关且均为Ax=b的解。 取ξ
1
=η
2
—η
1
,ξ
2
=η
3
—η
1
,…,ξ
n—r
=η
n—r+1
—η
1
,根据线性方程组解的结构,它们均为对应齐次方程Ax=0的解。 下面用反证法证: 设ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性相关,则存在不全为零的数l
1
,l
2
,…,l
n—r
使得 l
1
ξ
1
+l
2
ξ
2
+…+l
n—r
ξ
n—r
=0, 即 l
1
(η
2
—η
1
)+l
2
(η
3
—η
1
)+…+l
n—r
(η
n—r+1
—η
1
)=0, 也即 一(l
1
+l
2
+…+l
n—r
)η
1
+l
1
η
2
+l
2
η
3
+…+l
n—r
η
n—r+1
=0。 由η
1
,η
2
,…,η
n—r+1
线性无关知 一(l
1
+l
2
+…+l
n—r
)=l
1
=l
2
=…=l
n—r
=0, 这与l
1
,l
2
,…,l
n—r
不全为零矛盾,故假设不成立。因此ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性无关,是Ax=0的基础解系。 由于x,η
1
均为Ax=b的解,所以x—η
1
为Ax=0的解,因此z—η
1
可由ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n—r
线性表示,设 x—η
1
=k
2
ξ
1
+k
3
ξ
2
+…+k
n—r+1
ξ
n—r
=k
2
(η
2
—η
1
)+k
3
(η
3
—η
1
)+…+k
n—r+1
(η
n—r+1
—η
1
), 则x=η
1
(1—k
2
—k
3
—…—k
n—r+1
)+k
2
η
2
+k
3
η
3
+…+k
n—r+1
η
n—r+1
, 令k
1
=1—k
2
—k
3
—…—k
n—r+1
,则k
1
+k
2
+k
3
+…+k
n—r+1
=1,从而 x=k
1
η
1
+k
2
η
2
+…+k
n—r+1
η
n—r+1
恒成立。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/12H4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
计算二重积分sin(x2+y2)dxdy,其中积分区域D={(x,y)丨x2+y2≤π}
求函数u=x2+y2+z2存约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最人值与最小值.
假设随机变量U在区间[-2,2]上服从均匀分布,随机变量试求:(I)X和Y的联合概率分布;(Ⅱ)D(X+Y).
曲线的切线与x轴和y,轴围成一个图形,记切点的横坐标为α试求切线方程和这个图形的面积.当切点沿曲线趋于无穷远时,该面积的变化趋势如何?
设总体X的概率密度为而X1,X2…,Xn是来自总体X的简单随机样本,则未知参数θ的矩估计量为_________.
设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的一1倍加到第2列得C,记则().
设X1,X2为来自正态总体N(μ,σ2)的样本,则X1+X2与X1-X2必().
设A是n阶矩阵,下列不是命题“0是矩阵A的特征值”的充分必要条件的是().
设n阶矩阵A与B等价,则必有().
已知二次型f(x1,x2,x3)=x12+ax22+x32+2x1x2-2ax1x3-2x2x3的正、负惯性指数都是1,则a=_________.
随机试题
关于无创血压监测,下列不正确的是
3岁小儿。身材矮小而匀称,下列哪项诊断不太可能
根据《环境监测管理办法》,环境保护部门所属环境监测机构按照其所属的环境保护部门级别,分为()。
企业实现会计电算化后,()是保障会计电算化顺利运行的最重要一环。
对期末存货采用成本与可变现净值孰低计价,其所体现的会计信息质量要求是()。
当总产量达到最大时,边际产量等于()。
从所给的四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定的规律性:
元音、辅音的根本区别在于()。(中国人民大学)
简述授予发明或者实用新型专利权的实体条件。
社会媒体和大数据迁移研究
最新回复
(
0
)