设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：对于任意正数a，b，总存在x1，x2∈(0，1)，使得=a+b成立。

admin2017-01-16 48

问题设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：对于任意正数a，b，总存在x₁，x₂∈(0，1)，使得

=a+b成立。

选项

答案只需证明[*]=1即可。因a，b均为正数，所以有0＜[*]＜1。又因为f(0)=0，f(1)=1，所以f(0)＜[*]＜f(1)，则由连续函数的介值定理可知，必存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=[*]成立，于是有 [*] 在[0，ξ]与[ξ，1]上分别使用拉格朗日中值定理，得 f(ξ)-f(0)=f’(x₁)ξ，x₁∈(0，ξ)， f(1)-f(ξ)=f’(x₂)(1-ξ)，x₂∈(ξ，1)， [*]

解析

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