设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明:对于任意正数a,b,总存在x1,x2∈(0,1),使得=a+b成立。

admin2017-01-16  32

问题 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明:对于任意正数a,b,总存在x1,x2∈(0,1),使得=a+b成立。

选项

答案只需证明[*]=1即可。 因a,b均为正数,所以有0<[*]<1。 又因为f(0)=0,f(1)=1,所以f(0)<[*]<f(1),则由连续函数的介值定理可知,必存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=[*]成立,于是有 [*] 在[0,ξ]与[ξ,1]上分别使用拉格朗日中值定理,得 f(ξ)-f(0)=f’(x1)ξ,x1∈(0,ξ), f(1)-f(ξ)=f’(x2)(1-ξ),x2∈(ξ,1), [*]

解析
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