2. 考研
  3. 已知三元二次型xTAx经正交变换化为2y12—y22—y32，又知A*α=α，其中α=(1，1，一1)T，求此二次型的表达式．

已知三元二次型xTAx经正交变换化为2y12—y22—y32，又知A*α=α，其中α=(1，1，一1)T，求此二次型的表达式．

admin2017-10-19  53
问题 已知三元二次型xTAx经正交变换化为2y12—y22—y32，又知A*α=α，其中α=(1，1，一1)T，求此二次型的表达式．
选项
答案由xTAx=2y12—y22—y32知A的特征值是2，一1，一1，那么｜A｜=2． 从而1，一2，一2是A*的特征值，因此α是A*属于λ=1的特征向量，也就是A属于λ=2的特征向量． 设A属于λ=一1的特征向量是x=(x1，x2，x3)T，则因A是实对称矩阵，x与α正交，故x1+x2—x3=0． 解出x1=(1，一1，0)T，x2=(1，0，1)T． x1，x2是A属于λ=一1的特征向量． [*] 故xTAx=2x1x2—2x1x3—2x2x3．
解析
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考研数学三

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