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设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且f(0).f(1)>0,f(1)+∫01 f(x)dx=0.试证:至少存在一点ξ∈(0,1),使f’(ξ)=ξf(ξ).
设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且f(0).f(1)>0,f(1)+∫01 f(x)dx=0.试证:至少存在一点ξ∈(0,1),使f’(ξ)=ξf(ξ).
admin
2015-07-22
52
问题
设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且f(0).f(1)>0,f(1)+∫
0
1
f(x)dx=0.试证:至少存在一点ξ∈(0,1),使f’(ξ)=ξf(ξ).
选项
答案
令F(x)=[*] f(x),f(1)+∫
0
1
f(x)dx=f(1)+f(c)=0,c ∈(0,1). 由此可知f(c)≠0,否则f(1)=0,与题设f(0)f(1)>0矛盾,不妨设f(c)>0,则f(1)<0, f(0)<0. 由连续函数的零点定理知存在a∈(0,c),b ∈(c,1),使f(A)=f(b)=0,即F(A)=F(b),由罗尔定理可知,存在ξ∈(a,b),使F’(ξ)=0,即 [*] 故f’(ξ)=ξf(ξ).
解析
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考研数学三
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