设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且f(0).f(1)＞0，f(1)+∫01 f(x)dx=0．试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=ξf(ξ)．

admin2015-07-22 36

问题设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且f(0).f(1)＞0，f(1)+∫₀¹ f(x)dx=0．试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=ξf(ξ)．

选项

答案令F(x)=[*] f(x)，f(1)+∫₀¹ f(x)dx=f(1)+f(c)=0，c ∈(0，1)．由此可知f(c)≠0，否则f(1)=0，与题设f(0)f(1)＞0矛盾，不妨设f(c)＞0，则f(1)＜0， f(0)＜0．由连续函数的零点定理知存在a∈(0，c)，b ∈(c，1)，使f(A)=f(b)=0，即F(A)=F(b)，由罗尔定理可知，存在ξ∈(a，b)，使F’(ξ)=0，即 [*] 故f’(ξ)=ξf(ξ)．

解析

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