2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足 ∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt∫abg(t)dt．证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx．

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足 ∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt∫abg(t)dt．证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx．

admin2016-09-13  50
问题 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足
∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt∫abg(t)dt．证明：∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx．
选项
答案当x∈[a，b)时， ∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt<=>∫ax[f(t)－g(t)]dt≥0， ∫abf(t)dt=∫abg(t)dt<=>∫ab[f(t)－g(t)]dt=0， ∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx<=>∫abx[f(x)－g(x)]dx≤0， 令G(x)=∫ax[f(t)－g(t)]dt，则Gˊ(x)=f(x)－g(x)，于是 ∫abx[f(x)－g(x)]dx=∫abxd[∫ax(f(t)－g(t))dt] [*]x∫ax[f(t)－g(t)]dt｜ab－∫ab[∫ax(f(t)－g(t))dt]dx =－∫ab[∫ax(f(t)－g(t))dt]dx≤0(因为G(x)=∫ax[f(t)－g(t)]dt≥0)， 即∫abx[f(x)－g(x)]dx≤0，即∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx．
解析
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考研数学三

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