设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A-6E，且kE+A是正定阵，则k的取值范围是________。

admin2017-01-14 65

问题设A是三阶实对称矩阵，满足A³=2A²+5A-6E，且kE+A是正定阵，则k的取值范围是________。

选项

答案k＞2

解析根据题设条件，则有A³-2A²-5A+6E=O。设A有特征值λ，则A满足条件λ³-2λ²-5λ+6=0，将其因式分解可得
λ³-2λ²-5λ+6=(λ-1)(λ+2)(λ-3)=0，
因此可知矩阵A的特征值分别为1，-2，3，故kE+A的特征值分别为k+1，k-2，k+3，且当k＞2时，kE+A的特征值均为正数。故k＞2。

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