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设A是三阶实对称矩阵,满足A3=2A2+5A-6E,且kE+A是正定阵,则k的取值范围是________。
设A是三阶实对称矩阵,满足A3=2A2+5A-6E,且kE+A是正定阵,则k的取值范围是________。
admin
2017-01-14
44
问题
设A是三阶实对称矩阵,满足A
3
=2A
2
+5A-6E,且kE+A是正定阵,则k的取值范围是________。
选项
答案
k>2
解析
根据题设条件,则有A
3
-2A
2
-5A+6E=O。设A有特征值λ,则A满足条件λ
3
-2λ
2
-5λ+6=0,将其因式分解可得
λ
3
-2λ
2
-5λ+6=(λ-1)(λ+2)(λ-3)=0,
因此可知矩阵A的特征值分别为1,-2,3,故kE+A的特征值分别为k+1,k-2,k+3,且当k>2时,kE+A的特征值均为正数。故k>2。
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考研数学一
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