设f(x)在(-∞,+∞)内连续且严格单调递增,f(0)=0.常数n为正奇数,并设F(x)=∫0xtnf(t)dt,则下列结论判断正确的是( ).

admin2022-06-04  28

问题 设f(x)在(-∞,+∞)内连续且严格单调递增,f(0)=0.常数n为正奇数,并设F(x)=0xtnf(t)dt,则下列结论判断正确的是(          ).

选项 A、F(x)在(-∞,0)内严格单调递增,在(0,+∞)内严格单调递增
B、F(x)在(-∞,0)内严格单调递增,在(0,+∞)内严格单调递减
C、F(x)在(-∞,0)内严格单调递减,在(0,+∞)内严格单调递增
D、F(x)在(-∞,0)内严格单调递减,在(0,+∞)内严格单调递减

答案C

解析 F’(x)=,其中ξ介于0与x之间.
    当x>0时,0<ξ<x,于是0<ξn<xn
    因为f(x)严格单调递增,有0<f(ξ)<f(x),于是0<ξnf(ξ)<xnf(x),故
    当x>0时,F’(x)>0,F(x)严格单调递增;
    当x<0时,则x<ξ<0,于是xn<ξn<0,因为f(x)严格单调递增,有f(x)<f(ξ)<0,于是xnf(x)>ξnf(ξ)>0,故当x<0时,F’(x)<0,F(x)严格单调递减.
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