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  3. 设f为U0(x0)内的递增函数．证明：若存在数列{xn}U-0(x0)，且xn→x0(n→∞)，使得f(xn)=A．则有f(x0-0)=f(x)=A．

设f为U0(x0)内的递增函数．证明：若存在数列{xn}U-0(x0)，且xn→x0(n→∞)，使得f(xn)=A．则有f(x0-0)=f(x)=A．

admin2022-10-31  55
问题 设f为U0(x0)内的递增函数．证明：若存在数列{xn}U-0(x0)，且xn→x0(n→∞)，使得f(xn)=A．则有f(x0-0)=f(x)=A．
选项
答案先证f(x)在U-0(x0)内有界．由[*]f(xn)=A知，对于ε=1，存在N1，使得当n＞N1时，｜f(xn)-A｜＜ε=1，从而此时有f(xn)＜｜A｜+1． 设ξ∈U-0(x0)，则ξ＜x0，由[*]xn=x0得[*](xn-ξ)=x0-ξ＞0．由极限保号性知，存在N2，使得当n＞N2时xn-ξ＞0，由f(x)的递增性知，此时有f(ξ)≤f(xn)．取N=max{N1，N2}，则当n＞N时，f(ξ)≤f(xn)≤｜A｜+1．于是f(x)在U-0(x0)内有上界．由确界原理知，f(x)有上确界．令B=[*]f(x)．则对[*]ε＞0，[*]x’∈U-0(x0)．使得f(x’)＞B-ε，于是．当x∈U-0(x0;x0-x’)时，有 B-ε＜f(x’)≤f(x)≤B＜B+ε，故[*]f(x)=f(x0-0)=B． 由归结原则得[*]f(xn)=B，于是B=A，即f(x0-0)=[*]f(x)=A．
解析
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考研数学三

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