设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有|xTAx|≤cxTx． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

admin2017-04-23 123

问题设A是n阶实对称矩阵．证明：
(1)存在实数c，使对一切x∈Rⁿ，有|x^TAx|≤cx^Tx．
(2)若A正定，则对任意正整数k，A^k也是对称正定矩阵．
(3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

选项

答案(1)设A的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n．令c=max{|λ₁|，|λ₂|，…，|λ_n|}，则存在正交变换x=Py，使x^TAx=[*]λ_iλ₁²，且y^Ty=x^Tx，故|x^TAx|=[*]= cy^Ty=cx^Tx． (2)设A的特征值为λ₁，…，λ_n，则λ_i＞0(i=1，…，n)，于是，由A^*的特征值为．λ₁^k，…，λ_n^k，它们全都大于0，可知A^k为正定矩阵． (3)因为(A+aE)^T=A+aE，所以A+aE对称．又若A的特征值为λ₁，…，λ_n，则A+aE的特征值为λ₁+a，…，λ_n+a．若取a=max{|λ₁|+1，…，|λ_n|+1)，则λ_i+a≥λ_i+|λ_i|+l≥1，所以A+aE正定．

解析

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考研数学二

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设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有|xTAx|≤cxTx． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

考研数学二

积分∫02dx∫x2dy的值等于________。

设u=f(x,y,z)有连续的一阶偏导数，又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定exy－xy=2和ex=.

设函数z=f(x,y)在点(x0，y0)处存在对x,y的偏导数，则f’x(x0，y0)=________。

证明：当x＞0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2．

求以y=C1ex+C2e-x－x为通解的微分方程(C1、C2为任意常数）。

设L：y=e-x(x≥0)．求由y=e-x、x轴、y轴及x=a(a＞0)所围成平面区域绕x轴旋转一周而得的旋转体的体积V(a)．

设,问a，b为何值时，函数F(x)＝f(x)＋g(x)在﹙﹣∞，﹢∞﹚上连续。

设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且求矩阵A．

本题为“1x”型未定式，除可以利用第二类重要极限进行计算或化为指数函数计算外，由于已知数列的表达式，也可将n换为x转化为函数极限进行计算．一般[*]

设f(x)在[0，1]上连续，且0≤f(x)≤1，试证在[0，1]内至少存在一个ξ，使f(ξ)=ξ．

路面上的白色标线是何含义？

下述关于X线胸片检查对气胸的判断，哪项是错误的

某医院组织人员进行死亡原因的统计，为观察各种死亡原因所占的比重，宜绘制的图形为

某施工企业在联系业务的过程中发生了1万元的应酬费，即业务招待费，该项费用应当计入()。

施工场地临时用房主要包括宿舍、办公用房等，此外，施工现场还有诸如发电机房、变配电房、厨房操作间、锅炉房、可燃材料和易燃易爆危险品库房等用房。宿舍、办公用房等建筑构件的燃烧性能等级应为()级。

企业有在规定的期限内不办理产权登记等违法行为的，由国有资产管理部门责令改正，通报批评，可以处以(　　　)万元以下罚款，并提请政府有关部门对企业领导人员和直接责任人员按照规定给予纪律处分。

因纳税人、扣缴义务人计算错误等失误,未缴或者少缴税款的,税务机关在3年内可以追征;有特殊情况(即数额在10万元以上),税务机关可以无限期追征。()

构成导游能力的核心要素有()。

每月煤气开支为120元，煤气的某些用途如取暖等可用电替代。现在煤气价格上涨100％，其他商品价格不变，若该消费者得到120元作为煤气涨价的补贴，试问他的处境改善了还是恶化了?为什么?作草图表示。

Engineeringstudentsaresupposedtobeexamplesofpracticalityandrationality,butwhenitcomestomycollegeeducationIam

设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有|xTAx|≤cxTx． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

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设函数z=f(x,y)在点(x0，y0)处存在对x,y的偏导数，则f’x(x0，y0)=________。

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求以y=C1ex+C2e-x－x为通解的微分方程(C1、C2为任意常数）。

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企业有在规定的期限内不办理产权登记等违法行为的，由国有资产管理部门责令改正，通报批评，可以处以( )万元以下罚款，并提请政府有关部门对企业领导人员和直接责任人员按照规定给予纪律处分。

因纳税人、扣缴义务人计算错误等失误,未缴或者少缴税款的,税务机关在3年内可以追征;有特殊情况(即数额在10万元以上),税务机关可以无限期追征。()

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