设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有|xTAx|≤cxTx． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

admin2017-04-23 74

问题设A是n阶实对称矩阵．证明：
(1)存在实数c，使对一切x∈Rⁿ，有|x^TAx|≤cx^Tx．
(2)若A正定，则对任意正整数k，A^k也是对称正定矩阵．
(3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

选项

答案(1)设A的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n．令c=max{|λ₁|，|λ₂|，…，|λ_n|}，则存在正交变换x=Py，使x^TAx=[*]λ_iλ₁²，且y^Ty=x^Tx，故|x^TAx|=[*]= cy^Ty=cx^Tx． (2)设A的特征值为λ₁，…，λ_n，则λ_i＞0(i=1，…，n)，于是，由A^*的特征值为．λ₁^k，…，λ_n^k，它们全都大于0，可知A^k为正定矩阵． (3)因为(A+aE)^T=A+aE，所以A+aE对称．又若A的特征值为λ₁，…，λ_n，则A+aE的特征值为λ₁+a，…，λ_n+a．若取a=max{|λ₁|+1，…，|λ_n|+1)，则λ_i+a≥λ_i+|λ_i|+l≥1，所以A+aE正定．

解析

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考研数学二

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设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有|xTAx|≤cxTx． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

考研数学二

设z=u·v,x=eucosv,y=eusinv，求.

二元函数f(x,y)在点(x0，y0)处两个偏导数f’x(x0，y0),f’y(x0，y0)存在是f(x,y)在该点连续的________。

设偶函数f(x)的二阶导数f’’(x)在x=0的某邻域内连续，且f(0)=1,f"(0)=2,试证级数绝对收敛。

设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得f(c)=(c-a1)(c-a2)…(c-an)/n!f(n)(ξ)．

设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，试证明：存在ξ∈(a，b)使f’(ξ)/g’(ξ)+∫aξf(t)dt/∫ξbf(t)dt=0．

在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1,0),其上任意点P(x,y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0).当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为时，确定a的值。

设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=(-1，-1，1)T，α2=(1，-2，-1)T．求A的属于特征值3的特征向量．

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求A的特征值与特征向量；

求极限．

设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，X1，X2是分别属于λ1和λ2的特征向量，试证明X1＋X2不是A的特征向量．

封闭式基金在投资操作上的优势主要有(　　)。

任何一个计算机网络都包含有三个主要组成部分：若干主机、一个通信子网、一系列通信协议和网络软件。这里的“若干个主机”最少应有_______个主机。

盐酸吗啡应在哪种条件下保存?()

产业内现有企业的竞争一直是企业无法回避的问题，但是企业之间并不一定都会出现激烈的竞争，也可能存在着“和平共处"的状态。但某些情况下，这种“和平共处”的状态会荡然无存，这些情况包括()。

物流被称为“第三，利润源”，是表明只要重视和发展物流业就能提高效益，产生利润。()

通读并纠正校样中的错误。

()又称稳定性或可信性，是指一个人在同一心理测量中几次测量结果的一致性。

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计算机辅助教学的英文缩写是______。

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