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(2002年试题,十二)已知四阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2一α3.如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解.
(2002年试题,十二)已知四阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2一α3.如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解.
admin
2013-12-18
89
问题
(2002年试题,十二)已知四阶方阵A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),α
1
,α
2
,α
3
,α
4
均为四维列向量,其中α
2
,α
3
,α
4
线性无关,α
1
=2α
2
一α
3
.如果β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
,求线性方程组Ax=β的通解.
选项
答案
由题设,先确定方程组Ax=β的系数矩阵的秩rA,由已知α
2
,α
3
,α
4
线性无关α
1
=2α
2
-α
3
,则rA=3,则原方程组Ax=β相应的齐次方程组Ax=0的基础解系所含向量个数应为4-rA=4-3=1,又由已知,β可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表示,则原方程组Ax=β的增广矩阵(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,β)的秩也等于3,从而可知Ax=β有无穷多解.由α
1
-2α
2
+α
3
=0,知当x=(1,-2,1,0)
T
时,[*]即x=(1,一2,1,0)
T
是.Ax=0的一个基础解系,而由β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
知,当x=(1,1,1,1)
T
时,[*]即x=(1,1,l,1)
T
是Ax=β的一个特解,综上可知,Ax=β的通解为[*]其中C是任意常数.评注本题也可直接求解Ax=β,即令[*]则Ax=β成为x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=β,将α
1
=2α
2
一α
3
及β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
代入上式,得(2x
1
+α
2
-3)α
2
+(-x
1
+x
3
)α
3
+(x
4
一1)α
4
=0由题设α
2
,α
3
,α
4
线性无关,从而[*]此方程的增广矩阵为[*]通过初等行变换化为行简化阶梯形[*]由此知该方程组对应的齐次方程组的基础解系为[*].特解为[*].因此该方程组(也即原方程组)的通解为[*]其中C为任意常数.
解析
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考研数学二
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