2. 考研
  3. (2002年试题，十二)已知四阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

(2002年试题，十二)已知四阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

admin2013-12-18  94
问题 (2002年试题，十二)已知四阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2一α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．
选项
答案由题设，先确定方程组Ax=β的系数矩阵的秩rA，由已知α2，α3，α4线性无关α1=2α2-α3，则rA=3，则原方程组Ax=β相应的齐次方程组Ax=0的基础解系所含向量个数应为4-rA=4-3=1，又由已知，β可由α1，α2，α3，α4线性表示，则原方程组Ax=β的增广矩阵(α1，α2，α3，α4，β)的秩也等于3，从而可知Ax=β有无穷多解．由α1-2α2+α3=0，知当x=(1，-2，1，0)T时，[*]即x=(1，一2，1，0)T是．Ax=0的一个基础解系，而由β=α1+α2+α3+α4知，当x=(1，1，1，1)T时，[*]即x=(1，1，l，1)T是Ax=β的一个特解，综上可知，Ax=β的通解为[*]其中C是任意常数．评注本题也可直接求解Ax=β，即令[*]则Ax=β成为x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β，将α1=2α2一α3及β=α1+α2+α3+α4代入上式，得(2x1+α2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4一1)α4=0由题设α2，α3,α4线性无关，从而[*]此方程的增广矩阵为[*]通过初等行变换化为行简化阶梯形[*]由此知该方程组对应的齐次方程组的基础解系为[*]．特解为[*]．因此该方程组(也即原方程组)的通解为[*]其中C为任意常数．
解析
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考研数学二

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