(2002年试题,十二)已知四阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2一α3.如果β=α1+α2+α3+α4,求线性方程组Ax=β的通解.

admin2013-12-18  69

问题 (2002年试题,十二)已知四阶方阵A=(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1=2α2一α3.如果β=α1234,求线性方程组Ax=β的通解.

选项

答案由题设,先确定方程组Ax=β的系数矩阵的秩rA,由已知α2,α3,α4线性无关α1=2α23,则rA=3,则原方程组Ax=β相应的齐次方程组Ax=0的基础解系所含向量个数应为4-rA=4-3=1,又由已知,β可由α1,α2,α3,α4线性表示,则原方程组Ax=β的增广矩阵(α1,α2,α3,α4,β)的秩也等于3,从而可知Ax=β有无穷多解.由α1-2α23=0,知当x=(1,-2,1,0)T时,[*]即x=(1,一2,1,0)T是.Ax=0的一个基础解系,而由β=α1234知,当x=(1,1,1,1)T时,[*]即x=(1,1,l,1)T是Ax=β的一个特解,综上可知,Ax=β的通解为[*]其中C是任意常数.评注本题也可直接求解Ax=β,即令[*]则Ax=β成为x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β,将α1=2α2一α3及β=α1234代入上式,得(2x12-3)α2+(-x1+x33+(x4一1)α4=0由题设α2,α34线性无关,从而[*]此方程的增广矩阵为[*]通过初等行变换化为行简化阶梯形[*]由此知该方程组对应的齐次方程组的基础解系为[*].特解为[*].因此该方程组(也即原方程组)的通解为[*]其中C为任意常数.

解析
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