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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足 证明至少存在一点ξ∈(0,1),使f’(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ).
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足 证明至少存在一点ξ∈(0,1),使f’(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ).
admin
2014-07-17
15
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足
证明至少存在一点ξ∈(0,1),使f’(ξ)=(1-ξ
-1
)f(ξ).
选项
答案
令F(x)=xe
1-x
于是F(1))=f(1),由积分中值定理得,存在满足0
1-ξ[f’(ξ)-(1-ξ
-1
)f(ξ)]=0. 而ξe
1-ξ
≠0,故f(ξ)-(1-ξ
-
)f(ξ)=0,即 f(ξ)=(1-ξ
-1
)f(ξ).
解析
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考研数学三
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