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  3. 设4维向量组α1=(1+α，1，1，1)T，α2=(2，2+α，2，2)T，α3=(3，3，3+α，3)T，α4=(4，4，4，4+α)T，问α为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向

设4维向量组α1=(1+α，1，1，1)T，α2=(2，2+α，2，2)T，α3=(3，3，3+α，3)T，α4=(4，4，4，4+α)T，问α为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向

admin2015-09-12  77
问题 设4维向量组α1=(1+α，1，1，1)T，α2=(2，2+α，2，2)T，α3=(3，3，3+α，3)T，α4=(4，4，4，4+α)T，问α为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关?当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关蛆线性：表出．
选项
答案解1 记A=(α1，α2，α3，α4)，则 [*]于是当α=0或α=一10时，α1，α2，α3，α4线性相关． 当α=0时，α1≠0，且α2，α3，α4均可由α1线性表出，故α1为α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1． 当α=一10时，对A施以初等行变换，有 [*] 由于β2，β3，β4为β1，β2，β3，β4的一个极大线性无关组，且β1=一β2一β3一β4，故α2，α3，α4为α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α1=一α2一α3一α4． 解2 记A=(α1，α2，α3，α4)，对A施以初等行变换，有 [*] 当α=0时，A的秩为1，因而α1，α2，α3，α4线性相关，此时α1为，α1α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1． 当α≠0时，再对B施以初等行变换，有 [*] 如果α≠一10，C的秩为4，从而A的秩为4，故α1，α2，α3，α4线性无关． 如果α=一10，C的秩为3，从而A的秩为3，故α1，α2，α3，α4线性相关． 由于γ2，γ3，γ4为γ1，γ2，γ3，γ4的一个极大线性无关组，且γ1=一γ2一γ3一γ4．于是α2，α3，α4为α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α1=一α2一α3一α4．
解析 本题综合考查向量组线性相关与线性无关，向量组的极大无关组等基本概念及线性表出问题的基本计算方法．本题当α=0时，容易观察得到所给向量组的秩为1，从而知极大无关组只含1个向量，于是选其中一个非零向量便可作极大无关组，而且线性表出问题也由观察即可直接得到．当α≠0时，无论是解1还是解2，都用到了一个重要结论：矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组之间的线性关系．
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考研数学三

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