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设4维向量组α1=(1+α,1,1,1)T,α2=(2,2+α,2,2)T,α3=(3,3,3+α,3)T,α4=(4,4,4,4+α)T,问α为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向
设4维向量组α1=(1+α,1,1,1)T,α2=(2,2+α,2,2)T,α3=(3,3,3+α,3)T,α4=(4,4,4,4+α)T,问α为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向
admin
2015-09-12
55
问题
设4维向量组α
1
=(1+α,1,1,1)
T
,α
2
=(2,2+α,2,2)
T
,α
3
=(3,3,3+α,3)
T
,α
4
=(4,4,4,4+α)
T
,问α为何值时,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关?当α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关蛆线性:表出.
选项
答案
解1 记A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),则 [*]于是当α=0或α=一10时,α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关. 当α=0时,α
1
≠0,且α
2
,α
3
,α
4
均可由α
1
线性表出,故α
1
为α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,且α
2
=2α
1
,α
3
=3α
1
,α
4
=4α
1
. 当α=一10时,对A施以初等行变换,有 [*] 由于β
2
,β
3
,β
4
为β
1
,β
2
,β
3
,β
4
的一个极大线性无关组,且β
1
=一β
2
一β
3
一β
4
,故α
2
,α
3
,α
4
为α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,且α
1
=一α
2
一α
3
一α
4
. 解2 记A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),对A施以初等行变换,有 [*] 当α=0时,A的秩为1,因而α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,此时α
1
为,α
1
α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,且α
2
=2α
1
,α
3
=3α
1
,α
4
=4α
1
. 当α≠0时,再对B施以初等行变换,有 [*] 如果α≠一10,C的秩为4,从而A的秩为4,故α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关. 如果α=一10,C的秩为3,从而A的秩为3,故α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关. 由于γ
2
,γ
3
,γ
4
为γ
1
,γ
2
,γ
3
,γ
4
的一个极大线性无关组,且γ
1
=一γ
2
一γ
3
一γ
4
.于是α
2
,α
3
,α
4
为α
1
,α
2
,α
3
,α
4
的一个极大线性无关组,且α
1
=一α
2
一α
3
一α
4
.
解析
本题综合考查向量组线性相关与线性无关,向量组的极大无关组等基本概念及线性表出问题的基本计算方法.本题当α=0时,容易观察得到所给向量组的秩为1,从而知极大无关组只含1个向量,于是选其中一个非零向量便可作极大无关组,而且线性表出问题也由观察即可直接得到.当α≠0时,无论是解1还是解2,都用到了一个重要结论:矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组之间的线性关系.
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考研数学三
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