求连接两点A(0,1)与B(1,0)的一条可微曲线,它位于弦AB的上方,并且对于此弧上的任意一条弦AP,该曲线与弦AP之间的面积为x4,其中x为点P的横坐标.

admin2018-09-20  58

问题 求连接两点A(0,1)与B(1,0)的一条可微曲线,它位于弦AB的上方,并且对于此弧上的任意一条弦AP,该曲线与弦AP之间的面积为x4,其中x为点P的横坐标.

选项

答案如图1-3—3所示,点A(0,1),B(1,0),弧AB的方程为y=f(x),点P(x,f(x)).由直线方程的两点式知,弦AP的方程为 [*] 其中(X,Y)为弦AP上流动点的坐标.由题设条件知,如图1.3—3阴影部分的面积为X4,即[*]即 [*] 两边求导,化为常微分方程: [*] 即 xf’(x)一f(x)=一8x3一1. 初始条件为f(1)=0. 按一阶线性方程通解公式得 [*] 又由f(1)=0,得C=3.得 f(x)=一4x3+3x+1.

解析
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