已知A,B为三阶非零方阵, 为齐次线性方程组BX=0的3个解向量,且AX=β3有非零解. (1)求a,b的值; (2)求BX=0的通解.

admin2016-12-16  76

问题 已知A,B为三阶非零方阵,

为齐次线性方程组BX=0的3个解向量,且AX=β3有非零解.
(1)求a,b的值;
(2)求BX=0的通解.

选项

答案(1)因B≠0,故r(B)≥1,因而BX=0的基础解系所含解向量的个数为 n一r(B)≤3—1=2个, 而β1 ,β2 ,β3均是BX=0的解,故β1 ,β2 ,β3必线性相关,于是 |β1 ,β2 ,β3|=[*] 解得a=3b.又Ax=β3有非零解,即β3可由A的3个列向量 [*] 线性表示,由观察易看出 α3=3α1+2α2. 可见,风可由α1 ,α2线性表示,因此β3 ,α1 ,α2线性相关,于是 |β3 ,α1 ,α2|=[*] 解得b=5,从而a=15. (2)由题设r(B)≥1,于是3一r(B)≤2,又已知β1 ,β2为BX=0的两个线性无关的解,故 3一r(B)≥2,所以3一r(B)=2,β1 ,β2即可作为BX=0的基础解系,故通解为 X=k1β1+k2β2 (k1 ,k2为任意常数).

解析 因r(B)≥1,故β1 ,β2 ,β3必线性相关.又由AX=β3知,β3可表示为A的3个列向量的线性组.由这两个线性关系式可求出a,b.
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