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设f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a>0),且f(a)=0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=f′(ξ).
设f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a>0),且f(a)=0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=f′(ξ).
admin
2017-09-15
89
问题
设f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(a>0),且f(a)=0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)=
f′(ξ).
选项
答案
令φ(χ)=(b-χ)
a
f(χ),显然φ(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 因为φ(a)=φ(b)=0,所以由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得φ′(ξ)=0, 由φ′(χ)=(b-χ)
a-1
[(b-χ)f′(χ)-af(χ)]得 (b-ξ)
a-1
[(b-ξ)f′(ξ)-af(ξ)]且(b-ξ)
a-1
≠0,故f(ξ)=[*]f′(ξ).
解析
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考研数学二
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