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n维向量组(I):α1,α2,…,αs和向量组(Ⅱ):β1,β2,…,βi等价的充分必要条件是
n维向量组(I):α1,α2,…,αs和向量组(Ⅱ):β1,β2,…,βi等价的充分必要条件是
admin
2015-04-30
106
问题
n维向量组(I):α
1
,α
2
,…,α
s
和向量组(Ⅱ):β
1
,β
2
,…,β
i
等价的充分必要条件是
选项
A、秩r(Ⅰ)=r(Ⅱ)且s=t.
B、r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=n.
C、向量组(Ⅰ)的极大无关组与向量组(Ⅱ)的极大无关组等价.
D、向量组(Ⅰ)线性无关,向量组(Ⅱ)线性无关且s=t.
答案
C
解析
向量组等价的必要条件是秩相等,等价与向量的个数无关.例如:
向量组(1,0,0),(2,0,0)与向量组(0,1,0),(0,2,0)的秩相等,但它们不等价;
向量组(1,0,0),(2,0,0)与向量组(3,0,0)等价,但向量个数不同,
故(A)不正确.
r(I)=r(Ⅱ)=n是向量组(I)与向量组(Ⅱ)等价的充分条件,不必要.例如,向量组(1,0,0),(0,1,0)与向量组(2,0,0),(0,2,0)等价,但秩不为n.故(B)不正确.
向量组(I)与向量组(I)的极大无关组等价,向量组(Ⅱ)与向量组(Ⅱ)的极大无关组等价.如果向量组(I)的极大无关组与向量组(Ⅱ)的极大无关组等价,由等价的传递性自然有向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价,反之亦对.故(C)正确.应选(C).
注意,等价与向量组的相关、无关没有必然的联系,故(D)不正确.
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考研数学三
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