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  3. n维向量组(I)：α1，α2，…，αs和向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βi等价的充分必要条件是

n维向量组(I)：α1，α2，…，αs和向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βi等价的充分必要条件是

admin2015-04-30  59
问题 n维向量组(I)：α1，α2，…，αs和向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βi等价的充分必要条件是
选项 A、秩r(Ⅰ)=r(Ⅱ)且s=t．
B、r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=n．
C、向量组(Ⅰ)的极大无关组与向量组(Ⅱ)的极大无关组等价．
D、向量组(Ⅰ)线性无关，向量组(Ⅱ)线性无关且s=t．
答案C
解析 向量组等价的必要条件是秩相等，等价与向量的个数无关．例如：
    向量组(1，0，0)，(2，0，0)与向量组(0，1，0)，(0，2，0)的秩相等，但它们不等价；
    向量组(1，0，0)，(2，0，0)与向量组(3，0，0)等价，但向量个数不同，
    故(A)不正确．
    r(I)=r(Ⅱ)=n是向量组(I)与向量组(Ⅱ)等价的充分条件，不必要．例如，向量组(1，0，0)，(0，1，0)与向量组(2，0，0)，(0，2，0)等价，但秩不为n．故(B)不正确．
    向量组(I)与向量组(I)的极大无关组等价，向量组(Ⅱ)与向量组(Ⅱ)的极大无关组等价．如果向量组(I)的极大无关组与向量组(Ⅱ)的极大无关组等价，由等价的传递性自然有向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价，反之亦对．故(C)正确．应选(C)．
    注意，等价与向量组的相关、无关没有必然的联系，故(D)不正确．
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考研数学三

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