设f(x)在(－∞，+∞)内连续，以T为周期，证明： (1)∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数)； (2)∫0xf(t)dt以T为周期∫0Tf(x)dx=0； (3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为Tf(x)dx=0．

admin2016-09-13 57

问题设f(x)在(－∞，+∞)内连续，以T为周期，证明：
(1)∫_a^a+Tf(x)dx=∫₀^Tf(x)dx(a为任意实数)；
(2)∫₀^xf(t)dt以T为周期

∫₀^Tf(x)dx=0；
(3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T

f(x)dx=0．

选项

答案(1)[*]∫_a^a+Tf(x)dx=f(a+T)－f(a)=0 故∫_a^a+Tf(x)dx=∫_a^a+Tf(x)dx｜_a=0=∫₀^Tf(x)dx． (2)∫₀^xf(t)dt以T为周期<=>∫₀^x+Tf(t)dt－∫₀^xf(t)dt=∫_x^x+Tf(t)dt[*]∫₀^Tf(t)dt=0． (3)只需注意∫f(x)dx=∫₀^xf(t)dt+C，∫₀^xf(t)dt是f(x)的一个原函数．

解析

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考研数学三

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