2. 专升本
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，0≤f’(x)≤1，求证：［∫01f(x)dx］2≥∫01f3(x)dx。

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，0≤f’(x)≤1，求证：［∫01f(x)dx］2≥∫01f3(x)dx。

admin2015-07-15  11
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，0≤f’(x)≤1，求证：［∫01f(x)dx］2≥∫01f3(x)dx。
选项
答案证明：首先证明不等式 [∫0xf(t)dt]2≥∫0xf3(t)dt(0≤x≤1)。 令F(x)=[∫0xf(t)dt]2-∫0xf3(t)dt， F’(x)=2∫0xf(t)dt·f(x)-f3(x) =f(x)[2∫0xf(t)dt-f2(x)]， 再令φ(x)=2∫0xf(t)dt-f2(x)则 φ’(x)=2f(x)-2f(x)f’(x) =2f(x)[1-f’(x)]。 因为f(0)=0，f’(x)≥0，所以f(x)单增，当x≥0时，f(x)≥f(0)=0。 又0≤f’(x)≤1，于是φ’(x)≥0，由此φ(x)单增，当x≥0时，φ(x)≥φ(0)=0， 所以又有F’(x)≥0，由此F(x)单增，当x≥0时，F(x)≥F(0)=0，故F(1)≥0， 从而有[∫01f(x)dx]2≥∫01f2(x)dx。
解析
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