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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,0≤f’(x)≤1,求证:[∫01f(x)dx]2≥∫01f3(x)dx。
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,0≤f’(x)≤1,求证:[∫01f(x)dx]2≥∫01f3(x)dx。
admin
2015-07-15
12
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,0≤f’(x)≤1,求证:[∫
0
1
f(x)dx]
2
≥∫
0
1
f
3
(x)dx。
选项
答案
证明:首先证明不等式 [∫
0
x
f(t)dt]
2
≥∫
0
x
f
3
(t)dt(0≤x≤1)。 令F(x)=[∫
0
x
f(t)dt]
2
-∫
0
x
f
3
(t)dt, F’(x)=2∫
0
x
f(t)dt·f(x)-f
3
(x) =f(x)[2∫
0
x
f(t)dt-f
2
(x)], 再令φ(x)=2∫
0
x
f(t)dt-f
2
(x)则 φ’(x)=2f(x)-2f(x)f’(x) =2f(x)[1-f’(x)]。 因为f(0)=0,f’(x)≥0,所以f(x)单增,当x≥0时,f(x)≥f(0)=0。 又0≤f’(x)≤1,于是φ’(x)≥0,由此φ(x)单增,当x≥0时,φ(x)≥φ(0)=0, 所以又有F’(x)≥0,由此F(x)单增,当x≥0时,F(x)≥F(0)=0,故F(1)≥0, 从而有[∫
0
1
f(x)dx]
2
≥∫
0
1
f
2
(x)dx。
解析
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数学题库普高专升本分类
0
数学
普高专升本
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