已知BD为正方形ABCD对角线，M为BD上不同于B、D的一个动点，以AB为边在ABCD侧边作等边三角形ABE，以BM为边在BD左侧作等边三角形BMF，连接EF、AM、CM，当AM+BM+CM最短，∠BCM=( )。

admin2015-12-09 3

问题已知BD为正方形ABCD对角线，M为BD上不同于B、D的一个动点，以AB为边在ABCD侧边作等边三角形ABE，以BM为边在BD左侧作等边三角形BMF，连接EF、AM、CM，当AM+BM+CM最短，∠BCM=( )。

选项 A、15°
B、45°
C、30°
D、60°

答案A

解析 AM+BM+CM最短时，点E，M，C共线，且最短值等于线段EC的长度。证明：连接EC与BD交于点M，则∠BCE=

(180°-∠EBC)=15°，∠BME=∠DBC+∠BCE=45°+15°=60°，所以在ME上取点F使得FM=BM就得到题目中所说的等边△BMF。又△BEF≌△BAM(SAS)，所以AM=EF。于是有AM+BM+CM=EF+FM+CM=EC。可以验证，此时的线段和是最短的。

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已知BD为正方形ABCD对角线，M为BD上不同于B、D的一个动点，以AB为边在ABCD侧边作等边三角形ABE，以BM为边在BD左侧作等边三角形BMF，连接EF、AM、CM，当AM+BM+CM最短，∠BCM=( )。

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