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  3. 设A是n阶矩阵，且Ak=0(k为正整数)，则( )。

设A是n阶矩阵，且Ak=0(k为正整数)，则( )。

admin2018-11-30  22
问题 设A是n阶矩阵，且Ak=0(k为正整数)，则(    )。
选项 A、A一定是零矩阵
B、A有不为0的特征值
C、A的特征值全为0
D、A有n个线性无关的特征向量
答案C
解析 设λ是A的特征值，对应的特征向量为α，则有
    Aα=λα  Akα=λkα=0
    由α≠0，有λk=0，即λ=0，故A的特征值全为0。
令

则A2=0。若A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化，即存在可逆矩阵P，使得P–1AP=0，则必有A=0，与题意矛盾。
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