设A是n阶矩阵，且Ak=0(k为正整数)，则( )。

admin2018-11-30 17

问题设A是n阶矩阵，且A^k=0(k为正整数)，则( )。

选项 A、A一定是零矩阵
B、A有不为0的特征值
C、A的特征值全为0
D、A有n个线性无关的特征向量

答案C

解析设λ是A的特征值，对应的特征向量为α，则有
Aα=λα A^kα=λ^kα=0
由α≠0，有λ^k=0，即λ=0，故A的特征值全为0。
令

则A²=0。若A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化，即存在可逆矩阵P，使得P^–1AP=0，则必有A=0，与题意矛盾。

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