2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=5x12+ax22+3x32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的矩阵合同于， (Ⅰ)求常数a； (Ⅱ)用正交变换法化二次型f(x1，x2，x3)为标准形。

设二次型f(x1，x2，x3)=5x12+ax22+3x32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的矩阵合同于， (Ⅰ)求常数a； (Ⅱ)用正交变换法化二次型f(x1，x2，x3)为标准形。

admin2021-01-31  76
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=5x12+ax22+3x32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的矩阵合同于，
    (Ⅰ)求常数a；
    (Ⅱ)用正交变换法化二次型f(x1，x2，x3)为标准形。
选项
答案令[*]，则f(x1，x2，x3)=XTAX， 因为A与[*]合同，所以rA=2＜3，故｜A｜=0， 由｜A｜=[*]=3(2a-10)=0，得a=5，A=[*]。 (Ⅱ)由｜λE-A｜=[*]=λ(λ-4)(λ-9)=0，得λ1=0，λ2=4，λ3=9， 由(0E-A)X=0得ξ1=[*]；由(4E-A)X=0得ξ2=[*]； 由(9E-A)X=0得ξ3=[*]，单位化得[*]。 令Q=(γ1，γ2，γ3)=[*]， X=QY，则f(x1，x2，x3)=XTAX=YT(QTAQ)Y=4y22+9y32。
解析
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考研数学三

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