设二次型f(x1，x2，x3)=5x12+ax22+3x32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的矩阵合同于， (Ⅰ)求常数a； (Ⅱ)用正交变换法化二次型f(x1，x2，x3)为标准形。

admin2021-01-31 72

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=5x₁²+ax₂²+3x₃²-2x₁x₂+6x₁x₃-6x₂x₃的矩阵合同于

，
(Ⅰ)求常数a；
(Ⅱ)用正交变换法化二次型f(x₁，x₂，x₃)为标准形。

选项

答案令[*]，则f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX，因为A与[*]合同，所以rA=2＜3，故｜A｜=0，由｜A｜=[*]=3(2a-10)=0，得a=5，A=[*]。 (Ⅱ)由｜λE-A｜=[*]=λ(λ-4)(λ-9)=0，得λ₁=0，λ₂=4，λ₃=9，由(0E-A)X=0得ξ₁=[*]；由(4E-A)X=0得ξ₂=[*]；由(9E-A)X=0得ξ₃=[*]，单位化得[*]。令Q=(γ₁，γ₂，γ₃)=[*]， X=QY，则f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX=Y^T(Q^TAQ)Y=4y₂²+9y₃²。

解析

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考研数学三

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