设二次型 xTAx=x22+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x2+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中B= (Ⅰ)用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)求(A一3E)6．

admin2022-04-08 55

问题设二次型
x^TAx=x₂²+4x₂²+x₃²+2ax₁x₂+2bx₁x₂+2cx₂x₃，矩阵A满足AB=0，其中B=

(Ⅰ)用正交变换化二次型x^TAx为标准形，并写出所用正交变换；
(Ⅱ)求(A一3E)⁶．

选项

答案(Ⅰ)由AB=[*]=0知，矩阵B的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量．记[*]，则Aα₁=0=0α₁，Aα₂=0=0α₂．由此可知λ=0是矩阵A的特征值(至少是二重)，α₁，α₂是λ=0的线性无关的特征向量．根据∑λ_i=∑a_ii，有0+0+λ₃=1+4+1，故知矩阵A有特征值λ=6．因此，矩阵A的特征值是0，0，6．设λ=6的特征向量为α₃=(x₁，x₂，x₃)^T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有 [*]

解析

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考研数学二

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设二次型 xTAx=x22+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x2+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中B= (Ⅰ)用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)求(A一3E)6．

考研数学二

若向量组α1，α2，α3，α4线性相关，且向量α4不可由向量组α1，α2，α3线性表示，则下列结论正确的是()．

过点(一1，2，3)且垂直于直线并平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线方程是()

设当x→0时，f(x)=ln(1+x2)一ln(1+sin2x)是x的n阶无穷小，则正整数n等于()

设函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=[f(x)]2，则f(n)(x)=()

设A是三阶方阵，将A的第1列和第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为()

设向量组(I)α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)β1，β2，…，βs线性表示，则()

设f(χ)，g(χ)是连续函数，当χ→0时，f(χ)与g(χ)是等价无穷小，令F(χ)＝∫0χf(χ－t)dt，G(χ)＝∫χgχg(χt)dt，则当χ→0时，F(χ)是G(χ)的()．

求极限＝_______．

设z=f(x2+y2+z2，xyz)且f一阶连续可偏导，则=_____

曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程是；法线方程是．

下列各项中，能作为短期偿债能力辅助指标的是

原发性胆汁淤积性肝硬化最常见的早期症状为

2012年，某市受理专利申请量82682件，比上年增长3．1％。其中，发明专利37139件，增长15．5％。专利授权量51508件，增长7．4％。其中，发明专利11379件，增长24．2％。2012年全市有高新技术企业4312家，技术先进型服务企业281家

根据《企业会计准则第15号——建造合同》，下列费用中，不应计入工程成本的是()。

()接受承运人的委托，代理与船舶有关的一切业务的人。

可持续增长率可以表达为()。

养花专业户张某为防止花被偷，在花房周围私拉电网。一日晚，李某偷花不慎触电，经送医院抢救，不治身亡。张某对这种结果的主观心理态度是()。

细胞凋亡和程序性坏死的主要区别包括()。

犯罪的主观方面包括()。

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