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设二次型 xTAx=x22+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x2+2cx2x3,矩阵A满足AB=0,其中B= (Ⅰ)用正交变换化二次型xTAx为标准形,并写出所用正交变换; (Ⅱ)求(A一3E)6.
设二次型 xTAx=x22+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x2+2cx2x3,矩阵A满足AB=0,其中B= (Ⅰ)用正交变换化二次型xTAx为标准形,并写出所用正交变换; (Ⅱ)求(A一3E)6.
admin
2022-04-08
77
问题
设二次型
x
T
Ax=x
2
2
+4x
2
2
+x
3
2
+2ax
1
x
2
+2bx
1
x
2
+2cx
2
x
3
,矩阵A满足AB=0,其中B=
(Ⅰ)用正交变换化二次型x
T
Ax为标准形,并写出所用正交变换;
(Ⅱ)求(A一3E)
6
.
选项
答案
(Ⅰ)由AB=[*]=0知,矩阵B的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量. 记[*],则Aα
1
=0=0α
1
,Aα
2
=0=0α
2
. 由此可知λ=0是矩阵A的特征值(至少是二重),α
1
,α
2
是λ=0的线性无关的特征向量. 根据∑λ
i
=∑a
ii
,有0+0+λ
3
=1+4+1,故知矩阵A有特征值λ=6.因此,矩阵A的特征值是0,0,6. 设λ=6的特征向量为α
3
=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,有 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2bf4777K
0
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