设二次型 xTAx=x22+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x2+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中B= (Ⅰ)用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)求(A一3E)6．

admin2022-04-08 71

问题设二次型
x^TAx=x₂²+4x₂²+x₃²+2ax₁x₂+2bx₁x₂+2cx₂x₃，矩阵A满足AB=0，其中B=

(Ⅰ)用正交变换化二次型x^TAx为标准形，并写出所用正交变换；
(Ⅱ)求(A一3E)⁶．

选项

答案(Ⅰ)由AB=[*]=0知，矩阵B的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量．记[*]，则Aα₁=0=0α₁，Aα₂=0=0α₂．由此可知λ=0是矩阵A的特征值(至少是二重)，α₁，α₂是λ=0的线性无关的特征向量．根据∑λ_i=∑a_ii，有0+0+λ₃=1+4+1，故知矩阵A有特征值λ=6．因此，矩阵A的特征值是0，0，6．设λ=6的特征向量为α₃=(x₁，x₂，x₃)^T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有 [*]

解析

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考研数学二

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设二次型 xTAx=x22+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x2+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中B= (Ⅰ)用正交变换化二次型xTAx为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)求(A一3E)6．

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