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(Stolz公式)若T>0为常数, (1)g(x+T)>g(x)x≥a; (2)g(x)→+∞(当x→+∞时),且f,g在[a,+∞)内闭订界(即指:b>a,f,g在[a,b]上有界); (3) 则(其中l为有限数,或+∞或
(Stolz公式)若T>0为常数, (1)g(x+T)>g(x)x≥a; (2)g(x)→+∞(当x→+∞时),且f,g在[a,+∞)内闭订界(即指:b>a,f,g在[a,b]上有界); (3) 则(其中l为有限数,或+∞或
admin
2022-10-31
97
问题
(Stolz公式)若T>0为常数,
(1)g(x+T)>g(x)
x≥a;
(2)g(x)→+∞(当x→+∞时),且f,g在[a,+∞)内闭订界(即指:
b>a,f,g在[a,b]上有界);
(3)
则
(其中l为有限数,或+∞或-∞).
选项
答案
1°(l为有限数)要证[*]即要证明[*] 按已知条件g(x)→+∞,及[*]知, [*] 至此,我们若能证明 [*] 剩下的问题在于从②式推证③式.记α
n
=[*]-l.则 f(x+nT)=f(x+(n-1)T)+[g(x+nT)-g(x+(n-1)T)](α
n
+l) =f(x+(n-2)T)+[g(x+(n-1)T)-g(x+(n-2)T)](α
n-1
+l)+[g(x+nT) -g(x+(n-1)T)](α
n
+l) =…… =f(x+T)+[g(x+2T)-g(x+T)](α
2
-l)+[g(x+3T)-g(x+2T)](α
3
+l) +…+[g(x+nT)-g(x+(x+(n-1)T)](α
n
+l) =f(x+T)+α
2
[g(x+2T)-g(x+T)]+…+α
n
[g(x+nT)-g(x+(n-1)T)] +[g(x+nT)-g(x+T)]. 再除以g(x+nT),减去l,得 [*]·{|α
2
||g(x+2T)-g(x+T)| +…+|α
n
}||g(x+nT)-g(x+(n-1)T)|}. 由②式知|α
k
|<ε/2(K=1,2·…,n),由条件(1)· [*] 由此 f(x+nT)>f(x+(n-1)T)+2M[g(x+nT)-g(x+(n-1)T)] >f(x+(n-2)T)+2M[g(x+(n-1)T)-g(x+(n-2)T)] +2M[g(x+nT)-g(x+(n-1)T)] >…… >f(x)+2M[g(x+T)-g(x)]+…+2M[g(x+nT)-g(x+(n-1)T)] =f(x)+2M[g(x+nT)-g(x)]. 两边同时除以g(x+nT), [*] 3°l=-∞的情况,可考虑-f(x)化为2°的情况.
解析
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考研数学三
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