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(1)若A可逆且A~B,证明:A*~B*; (2)若A~B,证明:存在可逆矩阵P,使得AP~BP.
(1)若A可逆且A~B,证明:A*~B*; (2)若A~B,证明:存在可逆矩阵P,使得AP~BP.
admin
2022-04-07
50
问题
(1)若A可逆且A~B,证明:A
*
~B
*
;
(2)若A~B,证明:存在可逆矩阵P,使得AP~BP.
选项
答案
(1)因为A可逆且A~B,所以B可逆,A,B的特征值相同且|A|=|B|. 因为A~B,所以存在可逆矩阵P,使得P
-1
AP=B, 而A
*
=|A|A
-1
,B
*
=|B|B
-1
, 于是由P
-1
AP=B,得(P
-1
AP)
-1
=B
-1
,即P
-1
A
-1
P=B
-1
, 故P
-1
|A|A
-1
P=|A|B
-1
或P
-1
A
*
P=B
*
,于是A
*
~B
*
. (2)因为A~B,所以存在可逆阵P,使得P
-1
AP=B,即AP=PB, 于是AP=PBPP
-1
=P(BP)P
-1
,故AP~BP.
解析
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考研数学三
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