设1≤a＜b，函数f(χ)＝χln2χ，求证f(χ)满足不等式 (Ⅰ)0＜f〞(χ)＜2(χ＞1)． (Ⅱ)f(χ)＋f(b)－2f(b－a)2．

admin2017-11-21 30

问题设1≤a＜b，函数f(χ)＝χln²χ，求证f(χ)满足不等式
(Ⅰ)0＜f〞(χ)＜2(χ＞1)．
(Ⅱ)f(χ)＋f(b)－2f

(b－a)²．

选项

答案(I)求出 f′(χ)＝ln²χ＋2lnχ，f〞(χ)＝[*]＞0(χ≥1)， f⁽³⁾(χ)＝－[*]＜0(χ＞1)，f⁽³⁾(1)＝0 [*]f〞(χ)在[1，＋∞)单调下降[*]f〞(χ)＜f〞(1)＝2(χ＞1)． (Ⅱ) 用泰勒公式．在χ₀＝[*]处展开，有 [*] 分别取被展开点χ＝a，b，得 [*] ①+②得 [*] 由题(Ⅰ)，f〞(χ)＜2(χ＞1)[*]f〞(ξ₁)＋f〞(ξ₂)＜4[*] f(a)＋f(b)－[*](b－a)²．

解析

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