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设函数f(χ)在(0,+∞)内可导,f(χ)>0,,且 (Ⅰ)求f(χ); (Ⅱ)定义数列χn=∫0nπf(t)dt,证明数列{χn}收敛.
设函数f(χ)在(0,+∞)内可导,f(χ)>0,,且 (Ⅰ)求f(χ); (Ⅱ)定义数列χn=∫0nπf(t)dt,证明数列{χn}收敛.
admin
2017-11-21
68
问题
设函数f(χ)在(0,+∞)内可导,f(χ)>0,
,且
(Ⅰ)求f(χ);
(Ⅱ)定义数列χ
n
=∫
0
nπ
f(t)dt,证明数列{χ
n
}收敛.
选项
答案
(Ⅰ)题设中等式左端的极限为1
∞
型,先转化成 [*] 由导数的定义及复合函数求导法得 [*] 积分得lnf(χ)=[*]=lnsin
2
χ-lnχ
2
+C
1
,即 f(χ)=[*],χ∈(0,+∞). 由[*]得C=1. 因此f(χ)=[*]. (Ⅱ)χ
n
=[*] 记F(χ)=[*]在(0,+∞)[*]χ
n
=F(nπ)是单调上升的.又 [*] 于是χ
n
有界. 因此{χ
n
}单调有界,{χ
n
}必收敛.
解析
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考研数学二
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