设函数f(χ)在(0，＋∞)内可导，f(χ)＞0，，且 (Ⅰ)求f(χ)； (Ⅱ)定义数列χn＝∫0nπf(t)dt，证明数列{χn}收敛．

admin2017-11-21 37

问题设函数f(χ)在(0，＋∞)内可导，f(χ)＞0，

，且

(Ⅰ)求f(χ)；
(Ⅱ)定义数列χ_n＝∫₀^nπf(t)dt，证明数列{χ_n}收敛．

选项

答案(Ⅰ)题设中等式左端的极限为1^∞型，先转化成 [*] 由导数的定义及复合函数求导法得 [*] 积分得lnf(χ)＝[*]＝lnsin²χ－lnχ²＋C₁，即 f(χ)＝[*]，χ∈(0，＋∞)．由[*]得C＝1．因此f(χ)＝[*]． (Ⅱ)χ_n＝[*] 记F(χ)＝[*]在(0，＋∞)[*]χ_n＝F(nπ)是单调上升的．又 [*] 于是χ_n有界．因此{χ_n}单调有界，{χ_n}必收敛．

解析

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