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设f(χ)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(χ)>0,令F(χ)=∫-aa|χ-t|f(t)dt.. (Ⅰ)证明:F′(χ)单调增加. (Ⅱ)当χ取何值时,F(χ)取最小值? (Ⅲ)当F(χ)的最小值为f(a)-a2-1时,求函数f(χ).
设f(χ)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(χ)>0,令F(χ)=∫-aa|χ-t|f(t)dt.. (Ⅰ)证明:F′(χ)单调增加. (Ⅱ)当χ取何值时,F(χ)取最小值? (Ⅲ)当F(χ)的最小值为f(a)-a2-1时,求函数f(χ).
admin
2014-12-09
58
问题
设f(χ)为[-a,a]上的连续的偶函数且f(χ)>0,令F(χ)=∫
-a
a
|χ-t|f(t)dt..
(Ⅰ)证明:F′(χ)单调增加.
(Ⅱ)当χ取何值时,F(χ)取最小值?
(Ⅲ)当F(χ)的最小值为f(a)-a
2
-1时,求函数f(χ).
选项
答案
(Ⅰ)[*] 因为F〞(χ)=2f(χ)>0,所以F′(χ)为单调增加的函数. (Ⅱ)因为F′(0)=∫
-a
0
f(χ)dχ-∫
0
a
f(χ)dχ且f(χ)为偶函数,所以F′(0)=0,又因为F〞(0)>0,所以χ=0为F(χ)的唯一极小点,也为最小点. 故最小值为F(0)=∫
-a
a
|t|f(t)dt=2∫
0
a
t
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/H8bD777K
0
考研数学二
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