2. 考研
  3. 设f(χ)为[－a，a]上的连续的偶函数且f(χ)＞0，令F(χ)＝∫-aa｜χ－t｜f(t)dt.. (Ⅰ)证明：F′(χ)单调增加． (Ⅱ)当χ取何值时，F(χ)取最小值? (Ⅲ)当F(χ)的最小值为f(a)－a2－1时，求函数f(χ)．

设f(χ)为[－a，a]上的连续的偶函数且f(χ)＞0，令F(χ)＝∫-aa｜χ－t｜f(t)dt.. (Ⅰ)证明：F′(χ)单调增加． (Ⅱ)当χ取何值时，F(χ)取最小值? (Ⅲ)当F(χ)的最小值为f(a)－a2－1时，求函数f(χ)．

admin2014-12-09  106
问题 设f(χ)为[－a，a]上的连续的偶函数且f(χ)＞0，令F(χ)＝∫-aa｜χ－t｜f(t)dt..
(Ⅰ)证明：F′(χ)单调增加．
(Ⅱ)当χ取何值时，F(χ)取最小值?
(Ⅲ)当F(χ)的最小值为f(a)－a2－1时，求函数f(χ)．
选项
答案(Ⅰ)[*] 因为F〞(χ)＝2f(χ)＞0，所以F′(χ)为单调增加的函数． (Ⅱ)因为F′(0)＝∫-a0f(χ)dχ－∫0af(χ)dχ且f(χ)为偶函数，所以F′(0)＝0，又因为F〞(0)＞0，所以χ＝0为F(χ)的唯一极小点，也为最小点． 故最小值为F(0)＝∫-aa｜t｜f(t)dt＝2∫0at
解析
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考研数学二

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