设f(χ)为[－a，a]上的连续的偶函数且f(χ)＞0，令F(χ)＝∫-aa｜χ－t｜f(t)dt.. (Ⅰ)证明：F′(χ)单调增加． (Ⅱ)当χ取何值时，F(χ)取最小值? (Ⅲ)当F(χ)的最小值为f(a)－a2－1时，求函数f(χ)．

admin2014-12-09 138

问题设f(χ)为[－a，a]上的连续的偶函数且f(χ)＞0，令F(χ)＝∫_-a^a｜χ－t｜f(t)dt..
(Ⅰ)证明：F′(χ)单调增加．
(Ⅱ)当χ取何值时，F(χ)取最小值?
(Ⅲ)当F(χ)的最小值为f(a)－a²－1时，求函数f(χ)．

选项

答案(Ⅰ)[*] 因为F〞(χ)＝2f(χ)＞0，所以F′(χ)为单调增加的函数． (Ⅱ)因为F′(0)＝∫_-a⁰f(χ)dχ－∫₀^af(χ)dχ且f(χ)为偶函数，所以F′(0)＝0，又因为F〞(0)＞0，所以χ＝0为F(χ)的唯一极小点，也为最小点．故最小值为F(0)＝∫_-a^a｜t｜f(t)dt＝2∫₀^at

解析

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考研数学二

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