求下列幂级数的和函数：

admin2017-10-23 57

问题求下列幂级数的和函数：

选项

答案(Ⅰ)令S₁(x)=[*]nx^n—1，则易知S₁(x)的收敛域为(一1，1)，且S(x)=xS₁(x)．为求其和函数S(x)首先求S₁(x)，在其收敛区间(一1，1)内进行逐项积分得 [*] (Ⅱ)容易求得幂级数[*]的收敛域为[一1，1)．为求其和函数首先在收敛区间(一1，n1)内进行逐项求导，得 S’(x)=[*] (一1＜x＜1)．又因为S(0)=0，因此S(x)=S(x)一S(0)=∫₀^xS(t)dt=∫₀^x[*]=一ln(1一x) (一1＜x＜1)．注意和函数S(x)与函数一ln(1一x)都在[一1，1)上连续，它们又在(一1，1)内恒等，于是由连续性可知S(x)=一ln(1一x)也在x=一1处成立，即S(x)=一ln(1一x) (一1≤x＜1)．

解析

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