求下列幂级数的和函数:

admin2017-10-23  36

问题 求下列幂级数的和函数:

选项

答案(Ⅰ)令S1(x)=[*]nxn—1,则易知S1(x)的收敛域为(一1,1),且S(x)=xS1(x).为求其和函数S(x)首先求S1(x),在其收敛区间(一1,1)内进行逐项积分得 [*] (Ⅱ)容易求得幂级数[*]的收敛域为[一1,1).为求其和函数首先在收敛区间(一1,n1)内进行逐项求导,得 S’(x)=[*] (一1<x<1). 又因为S(0)=0,因此S(x)=S(x)一S(0)=∫0xS(t)dt=∫0x[*]=一ln(1一x) (一1<x<1). 注意和函数S(x)与函数一ln(1一x)都在[一1,1)上连续,它们又在(一1,1)内恒等,于是由连续性可知S(x)=一ln(1一x)也在x=一1处成立,即S(x)=一ln(1一x) (一1≤x<1).

解析
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