2. 职业资格
  3. 设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(一∞，+∞)内满足以下条件： f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)，且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex。 (1)求F(x)所满足的一阶微分方程； (2)求出F(x)的表达式。

设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(一∞，+∞)内满足以下条件： f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)，且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex。 (1)求F(x)所满足的一阶微分方程； (2)求出F(x)的表达式。

admin2017-09-18  45
问题 设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(一∞，+∞)内满足以下条件：
f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)，且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex。
(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；
(2)求出F(x)的表达式。
选项
答案题目要求F(x)所满足的微分方程，而微分方程中含自其导函数，自然向导对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可。 (1)由F(x)=f(x)g(x)，有 F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)=g2(x)+f2(x) =[f(x)+g(x)]2一2f(x)g(x)=(2ex)2一2F(x) 可见F(x)所满足的一阶微分方程为，F’(x)+2F(x)=4e2x，相应的初始条件为F(0)=f(0)g(0)=0。 (2)由题(1)得到F(x)所满足的一阶微分方程，求F(x)的表达式只需解一阶微分方程。又一阶线性非齐次微分方程[*]的通解为 [*] 所以：F(x)=e一∫2dx[∫4e2x．e∫2dxdx+C]=e一2x[∫4e4xdx+C]=e2x+Ce一2x 将F(0)代入上式，得C=一l，所以F(x)=e2x一e一2x。
解析
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