设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(一∞,+∞)内满足以下条件: f’(x)=g(x),g’(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2ex。 (1)求F(x)所满足的一阶微分方程; (2)求出F(x)的表达式。

admin2017-09-18  29

问题 设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(一∞,+∞)内满足以下条件:
f’(x)=g(x),g’(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2ex
(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;
(2)求出F(x)的表达式。

选项

答案题目要求F(x)所满足的微分方程,而微分方程中含自其导函数,自然向导对F(x)求导,并将其余部分转化为用F(x)表示,导出相应的微分方程,然后再求解相应的微分方程即可。 (1)由F(x)=f(x)g(x),有 F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)=g2(x)+f2(x) =[f(x)+g(x)]2一2f(x)g(x)=(2ex)2一2F(x) 可见F(x)所满足的一阶微分方程为,F’(x)+2F(x)=4e2x,相应的初始条件为F(0)=f(0)g(0)=0。 (2)由题(1)得到F(x)所满足的一阶微分方程,求F(x)的表达式只需解一阶微分方程。又一阶线性非齐次微分方程[*]的通解为 [*] 所以:F(x)=e一∫2dx[∫4e2x.e∫2dxdx+C]=e一2x[∫4e4xdx+C]=e2x+Ce一2x 将F(0)代入上式,得C=一l,所以F(x)=e2x一e一2x

解析
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