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设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(一∞,+∞)内满足以下条件: f’(x)=g(x),g’(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2ex。 (1)求F(x)所满足的一阶微分方程; (2)求出F(x)的表达式。
设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(一∞,+∞)内满足以下条件: f’(x)=g(x),g’(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2ex。 (1)求F(x)所满足的一阶微分方程; (2)求出F(x)的表达式。
admin
2017-09-18
54
问题
设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(一∞,+∞)内满足以下条件:
f’(x)=g(x),g’(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2e
x
。
(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;
(2)求出F(x)的表达式。
选项
答案
题目要求F(x)所满足的微分方程,而微分方程中含自其导函数,自然向导对F(x)求导,并将其余部分转化为用F(x)表示,导出相应的微分方程,然后再求解相应的微分方程即可。 (1)由F(x)=f(x)g(x),有 F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)=g
2
(x)+f
2
(x) =[f(x)+g(x)]
2
一2f(x)g(x)=(2e
x
)
2
一2F(x) 可见F(x)所满足的一阶微分方程为,F’(x)+2F(x)=4e
2x
,相应的初始条件为F(0)=f(0)g(0)=0。 (2)由题(1)得到F(x)所满足的一阶微分方程,求F(x)的表达式只需解一阶微分方程。又一阶线性非齐次微分方程[*]的通解为 [*] 所以:F(x)=e
一∫2dx
[∫4e
2x
.e
∫2dx
dx+C]=e
一2x
[∫4e
4x
dx+C]=e
2x
+Ce
一2x
将F(0)代入上式,得C=一l,所以F(x)=e
2x
一e
一2x
。
解析
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数学学科知识与教学能力
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