用正交变换将二次型f(x1,x2,x3)=x12一2x22一2x32一4x1x2+4x1x3+8x3x3化为标准形,并给出所施行的正交变换。

admin2017-01-13  33

问题 用正交变换将二次型f(x1,x2,x3)=x12一2x22一2x32一4x1x2+4x1x3+8x3x3化为标准形,并给出所施行的正交变换。

选项

答案二次型的矩阵为[*] 特征多项式为[*] 矩阵A的特征值为λ1=一7,λ23=2。由(λiE—A)x=0(i=1,2,3)解得特征值λ1=一7和λ23=2对应的特征向量分别为α1=(1,2,一2)T,α2=(一2,1,0)T,α3=(2,0,1)T,由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交,所以先将α23正交化,即[*] 再将α1,β2,β4单位化,即 [*] 则二次型xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为一7y12+2y22+2y32

解析
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