求下列微分方程的通解: (Ⅰ)y’’-3y’=2-6x; (Ⅱ)y’’+y=2cosx;(Ⅲ)y’’+4y’+5y=40cos3x.

admin2016-10-20  42

问题 求下列微分方程的通解:
(Ⅰ)y’’-3y’=2-6x;  (Ⅱ)y’’+y=2cosx;(Ⅲ)y’’+4y’+5y=40cos3x.

选项

答案(Ⅰ)先求对应齐次微分方程的通解,因其特征方程为λ2-3λ=λ(λ-3)=0,故通解为 y(x)=C1+C2e3x. 再求非齐次微分方程的特解,由于其自由项为一次多项式,而且0是特征方程的单根,所以特解应具形式y*(x)=x(Ax+B),代入原方程,得 [y*(x)]’’-3[y*(x)]’=2A-3(2Ax+B)=-6Ax+2A-3B=2-6x. 比较方程两端的系数,得[*] 解得A=1,B=0,即特解为y*(x)=x2.从而,原方程的通解为 y(x)=x2+C1+C2e3x,其中C1,C2为任意常数. (Ⅱ)由于对应齐次微分方程的特征方程为λ2+1=0,特征根为±i,所以其通解应为C1cosx+C2sinx;从而y’’+y=2cosx的特解应具形式:y*(x)=Axcosx+Bxsinx.代人原方程,可求得A=0,B=1,即y*(x)=xsinx.故原方程的通解为 y(x)=C1cosx+C2sinx+xsinx,其中C1,C2为任意常数. (Ⅲ)由于对应齐次微分方程的特征方程为λ2+4λ+5=0,特征根为-2±i,所以其通解应为e-2x(C1cosx+C2sinx).又因3i不是特征根,所以方程y’’+4y’+5y=40cos3x的特解应具有形式y*(*)=Acos3x+Bsin3x.代入原方程可得A=-1,B=3.这样就得到原方程的通解为 y(x)=e-2x(C1cosx+C2sinx)+3sin3x-cos3x,其中C1,C2为任意常数.

解析
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