2. 职业资格
  3. 案例： 在等差数列的习题课教学中，教师布置了这样一个问题：等差数列前10项和为100，前100项和为10．求前110项的和。 两位学生的解法如下： 学生甲：设等差数列的首项为a1，公差为d，则 所以S110＝110a1＋＝

案例： 在等差数列的习题课教学中，教师布置了这样一个问题：等差数列前10项和为100，前100项和为10．求前110项的和。 两位学生的解法如下： 学生甲：设等差数列的首项为a1，公差为d，则 所以S110＝110a1＋＝

admin2017-04-24  27
问题 案例：
    在等差数列的习题课教学中，教师布置了这样一个问题：等差数列前10项和为100，前100项和为10．求前110项的和。
    两位学生的解法如下：
    学生甲：设等差数列的首项为a1，公差为d，则

    所以S110＝110a1＋＝－110。
    学生乙：设等差数列{an}前n项和为Sn＝An2＋Bn，由已知得

    解得A＝。
    所以S110＝1102×＝－110
    针对上述解法，一些学生提出了自己的想法。
    学生丙：怎么刚好有S100＋S10＝－S110呢?这是一种巧合吗?上述所得到的结论中是否隐含着一般性的规律呢?
    老师：同学丙所说的规律是否就是：
    一般地，在等差数列{an}中，若存在正整数p，q且p≠q，使得Sp＝q，Sq＝p，则Sp＋Sq＝－Sp+q。    (*)
请同学们进行验证。
    问题：
请分析学生甲和学生乙解法各自的特点，并解释学生乙设Sn＋An2Bn的理由。
选项
答案学生甲的解法是先根据已知条件求出等差数列的首项a1和公差d，然后根据等差数列的前n项和公式求出前110项的和；学生乙的解法是根据数列与函数的关系求解，因为等差数列的前n项和公式为Sn＝na1＋[*]，可以把前n项和Sn看成n的二次函数，令Sn＝An2＋Bn的形式。
解析
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