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设α1,α2,…,αn为n个线性无关的n维列向量,β1,β2,…,βn为任意n个n维列向量。证明:α1,α2,…,αn可由β1,β2,…,βn线性表示的充要条件是β1,β2,…,βn线性无关。
设α1,α2,…,αn为n个线性无关的n维列向量,β1,β2,…,βn为任意n个n维列向量。证明:α1,α2,…,αn可由β1,β2,…,βn线性表示的充要条件是β1,β2,…,βn线性无关。
admin
2018-02-07
64
问题
设α
1
,α
2
,…,α
n
为n个线性无关的n维列向量,β
1
,β
2
,…,β
n
为任意n个n维列向量。证明:α
1
,α
2
,…,α
n
可由β
1
,β
2
,…,β
n
线性表示的充要条件是β
1
,β
2
,…,β
n
线性无关。
选项
答案
必要性: 因为α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关,且α
1
,α
2
,…,α
n
可由β
1
。β
2
,…,β
n
线性表示,所以 n≤r(α
1
,α
2
,…,α
n
)≤r(β
1
,β
2
,…,β
n
)≤n, 即r(β
1
,β
2
,…,β
n
)=n,则β
1
,β
2
,…,β
n
线性无关。 充分性: 因为β
1
,β
2
,…,β
n
是线性无关的n维向量组,所以β
1
,β
2
,…,β
n
可以表示n维向量空间中所有的向量,故α
1
,α
2
,…,α
n
可由β
1
,β
2
,…,β
n
线性表示。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3Xk4777K
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考研数学二
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