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设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维列向量，β1，β2，…，βn为任意n个n维列向量。证明：α1，α2，…，αn可由β1，β2，…，βn线性表示的充要条件是β1，β2，…，βn线性无关。
设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维列向量，β1，β2，…，βn为任意n个n维列向量。证明：α1，α2，…，αn可由β1，β2，…，βn线性表示的充要条件是β1，β2，…，βn线性无关。
admin
2018-02-07
35
问题
设α
1
，α
2
，…，α
n
为n个线性无关的n维列向量，β
1
，β
2
，…，β
n
为任意n个n维列向量。证明：α
1
，α
2
，…，α
n
可由β
1
，β
2
，…，β
n
线性表示的充要条件是β
1
，β
2
，…，β
n
线性无关。
选项
答案
必要性： 因为α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关，且α
1
，α
2
，…，α
n
可由β
1
。β
2
，…，β
n
线性表示，所以 n≤r(α
1
，α
2
，…，α
n
)≤r(β
1
，β
2
，…，β
n
)≤n， 即r(β
1
，β
2
，…，β
n
)=n，则β
1
，β
2
，…，β
n
线性无关。 充分性： 因为β
1
，β
2
，…，β
n
是线性无关的n维向量组，所以β
1
，β
2
，…，β
n
可以表示n维向量空间中所有的向量，故α
1
，α
2
，…，α
n
可由β
1
，β
2
，…，β
n
线性表示。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3Xk4777K
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考研数学二
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