一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数K＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时?

admin2014-01-26 101

问题一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数K＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r₀的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的

，问雪堆全部融化需要多少小时?

选项

答案[详解1] 设雪堆在时刻t的体积[*]，表面积S＝2πr²，r为时间t的函数，由题设得[*]，解此方程得r＝－Kt＋C，由r(0)＝r₀，得 r＝r₀－Kt．又由题设，[*]，从而 [*]．因雪堆全部融化时r＝0，故得t＝6，即雪堆全部融化需6小时． [详解2] 设雪堆在时刻t的体积[*]，表面积S＝2πr²,r为时间t的函数，从而 [*]，解此方程得 [*]．设V(0)＝V₀，得[*]，故有 [*]，于是 [*]，令 V＝0，得t＝6，即雪堆全部融化需6小时．

解析 [分析] 先求H{半球体体积和半球面面积关于时间t的函数，再由题设即可建立微分方程，比例系数K可通过题设条件确定．注意雪堆全部融化意味着体积y＝0或球体半径r＝0．
[评注] 对于本题，不要将“体积融化的速率与半球面面积S成正比”理解为

，事实上，由于体积减少，雪堆体积融化的速率应为

．

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考研数学二

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一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数K＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的，问雪堆全部融化需要多少小时?

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