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一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例系数K>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的,问雪堆全部融化需要多少小时?
一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例系数K>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的,问雪堆全部融化需要多少小时?
admin
2014-01-26
100
问题
一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例系数K>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为r
0
的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的
,问雪堆全部融化需要多少小时?
选项
答案
[详解1] 设雪堆在时刻t的体积[*],表面积S=2πr
2
,r为时间t的函数,由题设得[*],解此方程得r=-Kt+C,由r(0)=r
0
,得 r=r
0
-Kt. 又由题设,[*], 从而 [*]. 因雪堆全部融化时r=0,故得t=6,即雪堆全部融化需6小时. [详解2] 设雪堆在时刻t的体积[*],表面积S=2πr
2
,r为时间t的函数,从而 [*],解此方程得 [*].设V(0)=V
0
,得[*],故有 [*], 于是 [*],令 V=0,得t=6,即雪堆全部融化需6小时.
解析
[分析] 先求H{半球体体积和半球面面积关于时间t的函数,再由题设即可建立微分方程,比例系数K可通过题设条件确定.注意雪堆全部融化意味着体积y=0或球体半径r=0.
[评注] 对于本题,不要将“体积融化的速率与半球面面积S成正比”理解为
,事实上,由于体积减少,雪堆体积融化的速率应为
.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/nm34777K
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考研数学二
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