2. 考研
  3. 设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (1)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量． (2)求矩阵B．

设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (1)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量． (2)求矩阵B．

admin2017-07-26  16
问题 设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．
    (1)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值和特征向量．
    (2)求矩阵B．
选项
答案(1)由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1， 进一步 A3α1=α1，A5α1=α1， 故 α1=(A5一4A3+E)α1 =A5α1—4A3α1+α1 =α1—4α1+α1 =一2α1， 从而α1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量． 由B=A5一4A3+E及A的3个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，得B的3个特征值为 μ1=一2，μ2=1，μ3=1． 设α2，α3为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又因为A是对称矩阵，得B也是对称矩阵，因此α1与α2，α3正交，即 α1，α2=0，α1，α3—0， 所以α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解： [*] 其中k1是不为零的任意常数，k2，k3是不同时为零的任意常数． (2)[*]
解析
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考研数学三

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