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  3. 设f在[0，1]上连续，f(0)=f(1)． 证明：对任何正整数n,存在ξ∈[0．1]，使得f(ξ+)=f(ξ)．

设f在[0，1]上连续，f(0)=f(1)． 证明：对任何正整数n,存在ξ∈[0．1]，使得f(ξ+)=f(ξ)．

admin2022-10-31  69
问题 设f在[0，1]上连续，f(0)=f(1)．
    证明：对任何正整数n,存在ξ∈[0．1]，使得f(ξ+)=f(ξ)．
选项
答案当n=1时，取ξ=0，则有f(ξ)=f(0)=f(1)=f(ξ+[*])，命题得证． 当n＞1时，令F(x)=f(x+[*])-f(x)，则有 [*] =-f(0)+f(1)=0． 若F(0)，[*]=f(ξ)，命题得证． 若F(0)，[*]全不为0，则必存在两点x1=i／n，x2=j／n，其中0≤i＜j≤n-1，使得F(x1)F(x2)＜0．f在[0，1]上连续，因而F(x)在[x1，x2]上也连续．由根的存在定理知，存在一点ξ∈[x1，x2]，使得F(ξ)=f(ξ+[*])-f(ξ)=0． 故对任何正整数n，存在ξ∈[0，1]，使得f(ξ+[*])=f(ξ)．
解析
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考研数学三

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