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设f在[0,1]上连续,f(0)=f(1). 证明:对任何正整数n,存在ξ∈[0.1],使得f(ξ+)=f(ξ).
设f在[0,1]上连续,f(0)=f(1). 证明:对任何正整数n,存在ξ∈[0.1],使得f(ξ+)=f(ξ).
admin
2022-10-31
51
问题
设f在[0,1]上连续,f(0)=f(1).
证明:对任何正整数n,存在ξ∈[0.1],使得f(ξ+
)=f(ξ).
选项
答案
当n=1时,取ξ=0,则有f(ξ)=f(0)=f(1)=f(ξ+[*]),命题得证. 当n>1时,令F(x)=f(x+[*])-f(x),则有 [*] =-f(0)+f(1)=0. 若F(0),[*]=f(ξ),命题得证. 若F(0),[*]全不为0,则必存在两点x
1
=i/n,x
2
=j/n,其中0≤i<j≤n-1,使得F(x
1
)F(x
2
)<0.f在[0,1]上连续,因而F(x)在[x
1
,x
2
]上也连续.由根的存在定理知,存在一点ξ∈[x
1
,x
2
],使得F(ξ)=f(ξ+[*])-f(ξ)=0. 故对任何正整数n,存在ξ∈[0,1],使得f(ξ+[*])=f(ξ).
解析
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考研数学三
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