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设数列{an}满足 an+1xn+2=-x-e-x, 若S(0)=0,求(-1)nanxn+1的和函数S(x)及an.
设数列{an}满足 an+1xn+2=-x-e-x, 若S(0)=0,求(-1)nanxn+1的和函数S(x)及an.
admin
2023-01-04
18
问题
设数列{a
n
}满足
a
n+1
x
n+2
=-x-e
-x
,
若S(0)=0,求
(-1)
n
a
n
x
n+1
的和函数S(x)及a
n
.
选项
答案
由S(x)=[*](-1)
n
a
n
x
n+1
,知 [*] 由已知等式,有∫
0
x
S(x)dx+S(x)=-x-e
-x
,两边同时对x求导,得 S(x)+S’(x)=e
-x
-1. 解一阶线性微分方程,有 S(x)=e
-∫dx
[∫(e
-x
-1)e
∫dx
dx+c]=e
-x
[∫(e
-x
-1)e
x
dx+c]=e
-x
(x-e
x
+c). 由S(0)=0,得c=1,故S(x)=(1+x)e
-x
-1.由S(x)=(1+x)e
-x
-1=[*](-1)
n
a
n
x
n+1
,故 e
-x
+xe
-x
-1 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3igD777K
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考研数学一
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