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  3. 设数列{an}满足 an+1xn+2=-x-e-x， 若S(0)=0，求(-1)nanxn+1的和函数S(x)及an．

设数列{an}满足 an+1xn+2=-x-e-x， 若S(0)=0，求(-1)nanxn+1的和函数S(x)及an．

admin2023-01-04  17
问题 设数列{an}满足
    an+1xn+2=-x-e-x，
    若S(0)=0，求(-1)nanxn+1的和函数S(x)及an．
选项
答案由S(x)=[*](-1)nanxn+1，知 [*] 由已知等式，有∫0xS(x)dx+S(x)=-x-e-x，两边同时对x求导，得 S(x)+S’(x)=e-x-1． 解一阶线性微分方程，有 S(x)=e-∫dx[∫(e-x-1)e∫dxdx+c]=e-x[∫(e-x-1)exdx+c]=e-x(x-ex+c)． 由S(0)=0，得c=1，故S(x)=(1+x)e-x-1．由S(x)=(1+x)e-x-1=[*](-1)nanxn+1，故 e-x+xe-x-1 [*]
解析
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考研数学一

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