设数列{an}满足 an+1xn+2=-x-e-x，若S(0)=0，求(-1)nanxn+1的和函数S(x)及an．

admin2023-01-04 24

问题设数列{a_n}满足

a_n+1xⁿ⁺²=-x-e^-x，
若S(0)=0，求

(-1)ⁿa_nxⁿ⁺¹的和函数S(x)及a_n．

选项

答案由S(x)=[*](-1)ⁿa_nxⁿ⁺¹，知 [*] 由已知等式，有∫₀^xS(x)dx+S(x)=-x-e^-x，两边同时对x求导，得 S(x)+S’(x)=e^-x-1．解一阶线性微分方程，有 S(x)=e^-∫dx[∫(e^-x-1)e^∫dxdx+c]=e^-x[∫(e^-x-1)e^xdx+c]=e^-x(x-e^x+c)．由S(0)=0，得c=1，故S(x)=(1+x)e^-x-1．由S(x)=(1+x)e^-x-1=[*](-1)ⁿa_nxⁿ⁺¹，故 e^-x+xe^-x-1 [*]

解析

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