设数列{an}满足 an+1xn+2=-x-e-x, 若S(0)=0,求(-1)nanxn+1的和函数S(x)及an.

admin2023-01-04  10

问题 设数列{an}满足
    an+1xn+2=-x-e-x
    若S(0)=0,求(-1)nanxn+1的和函数S(x)及an

选项

答案由S(x)=[*](-1)nanxn+1,知 [*] 由已知等式,有∫0xS(x)dx+S(x)=-x-e-x,两边同时对x求导,得 S(x)+S’(x)=e-x-1. 解一阶线性微分方程,有 S(x)=e-∫dx[∫(e-x-1)e∫dxdx+c]=e-x[∫(e-x-1)exdx+c]=e-x(x-ex+c). 由S(0)=0,得c=1,故S(x)=(1+x)e-x-1.由S(x)=(1+x)e-x-1=[*](-1)nanxn+1,故 e-x+xe-x-1 [*]

解析
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