当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量,函数y(x)在任意点x处的增量△y=,且y(0)=π,则y(1)=______.

admin2018-06-27  44

问题 当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量,函数y(x)在任意点x处的增量△y=,且y(0)=π,则y(1)=______.

选项

答案[*]

解析 首先尝试从△y的表达式直接求y(1).为此,设x0=0,△x=1,于是△y=y(x0+△x)-y(x0)=y(1)-y(0)=y(1)-π,代入△y的表达式即得
    y(1)-π=π+α y(1)=2π+α.
由于仅仅知道当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小,而不知道α的具体表达式,因而从上式无法求出y(1).
由此可见,为了求出y(1)必须去掉△y的表达式中包含的α.利用函数的增量△y与其微分dy的关系可知,函数y(x)在任意点x处的微分

这是一个可分离变量方程,它满足初始条件y|x=0=π的特解正是本题中的函数y(x),解出y(x)即可得到y(1).
将方程分离变量,得

求积分可得

由初始条件y(0)=π可确定
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