2. 考研
  3. 当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量△y=，且y(0)=π，则y(1)=______．

当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量△y=，且y(0)=π，则y(1)=______．

admin2018-06-27  71
问题 当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量△y=，且y(0)=π，则y(1)=______．
选项
答案[*]
解析 首先尝试从△y的表达式直接求y(1)．为此，设x0=0，△x=1，于是△y=y(x0+△x)-y(x0)=y(1)-y(0)=y(1)-π，代入△y的表达式即得
    y(1)-π=π+α y(1)=2π+α．
由于仅仅知道当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小，而不知道α的具体表达式，因而从上式无法求出y(1)．
由此可见，为了求出y(1)必须去掉△y的表达式中包含的α．利用函数的增量△y与其微分dy的关系可知，函数y(x)在任意点x处的微分

这是一个可分离变量方程，它满足初始条件y｜x=0=π的特解正是本题中的函数y(x)，解出y(x)即可得到y(1)．
将方程分离变量，得

求积分可得

由初始条件y(0)=π可确定
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考研数学二

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