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已知4×5矩阵A=(α1,α2,α3,α4,α5),其中α1,α2,α3,α4,α5均为四维列向量,α1,α2,α4线性无关,又设α3=α1一α4,α5=α1+α2+α4,β=2α1+α2一α3+α4+α5,求Ax=β的通解。
已知4×5矩阵A=(α1,α2,α3,α4,α5),其中α1,α2,α3,α4,α5均为四维列向量,α1,α2,α4线性无关,又设α3=α1一α4,α5=α1+α2+α4,β=2α1+α2一α3+α4+α5,求Ax=β的通解。
admin
2017-07-10
51
问题
已知4×5矩阵A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
5
),其中α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
5
均为四维列向量,α
1
,α
2
,α
4
线性无关,又设α
3
=α
1
一α
4
,α
5
=α
1
+α
2
+α
4
,β=2α
1
+α
2
一α
3
+α
4
+α
5
,求Ax=β的通解。
选项
答案
由于α
1
,α
2
,α
4
线性无关,α
3
=α
1
一α
4
,α
5
=a
1
+a
2
+a
4
,所以r(A)=3。由已知条件β=2α
1
+α
2
一α
3
+α
4
+α
5
,从而线性方程组Ax=β有特解η=(2,1,一1,1,1)
T
。由α
3
=α
1
一α
4
,α
5
=α
1
+α
2
+α
4
,可知导出组Ax=0的两个线性无关的解为ξ
1
=(1,0,一1,一1,0)
T
,ξ
2
=(1,1,0,1,一1)
T
。由r(A)=3,可知齐次线性方程组Ax=0的基础解系由两个线性无关的解构成,故ξ
1
,ξ
2
为Ax=0的基础解系,方程组Ax=β的通解为x=η+k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
,其中k
1
,k
2
为任意常数。
解析
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考研数学二
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