已知4×5矩阵A=(α1,α2,α3,α4,α5),其中α1,α2,α3,α4,α5均为四维列向量,α1,α2,α4线性无关,又设α3=α1一α4,α5=α1+α2+α4,β=2α1+α2一α3+α4+α5,求Ax=β的通解。

admin2017-07-10  29

问题 已知4×5矩阵A=(α12345),其中α12345均为四维列向量,α124线性无关,又设α31一α4,α5124,β=2α12一α345,求Ax=β的通解。

选项

答案由于α1,α2,α4线性无关,α31一α4,α5=a1+a2+a4,所以r(A)=3。由已知条件β=2α12一α345,从而线性方程组Ax=β有特解η=(2,1,一1,1,1)T。由α31一α4,α5124,可知导出组Ax=0的两个线性无关的解为ξ1=(1,0,一1,一1,0)T,ξ2=(1,1,0,1,一1)T。由r(A)=3,可知齐次线性方程组Ax=0的基础解系由两个线性无关的解构成,故ξ1,ξ2为Ax=0的基础解系,方程组Ax=β的通解为x=η+k1ξ1+k2ξ2,其中k1,k2为任意常数。

解析
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