2. 考研
  3. 已知4×5矩阵A=(α1,α2,α3,α4,α5)，其中α1,α2,α3,α4,α5均为四维列向量，α1,α2,α4线性无关，又设α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，β=2α1+α2一α3+α4+α5，求Ax=β的通解。

已知4×5矩阵A=(α1,α2,α3,α4,α5)，其中α1,α2,α3,α4,α5均为四维列向量，α1,α2,α4线性无关，又设α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，β=2α1+α2一α3+α4+α5，求Ax=β的通解。

admin2017-07-10  31
问题 已知4×5矩阵A=(α1,α2,α3,α4,α5)，其中α1,α2,α3,α4,α5均为四维列向量，α1,α2,α4线性无关，又设α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，β=2α1+α2一α3+α4+α5，求Ax=β的通解。
选项
答案由于α1，α2，α4线性无关，α3=α1一α4，α5=a1+a2+a4，所以r(A)=3。由已知条件β=2α1+α2一α3+α4+α5，从而线性方程组Ax=β有特解η=(2，1，一1，1，1)T。由α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，可知导出组Ax=0的两个线性无关的解为ξ1=(1，0，一1，一1，0)T，ξ2=(1，1，0，1，一1)T。由r(A)=3，可知齐次线性方程组Ax=0的基础解系由两个线性无关的解构成，故ξ1，ξ2为Ax=0的基础解系，方程组Ax=β的通解为x=η+k1ξ1+k2ξ2，其中k1，k2为任意常数。
解析
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考研数学二

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