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已知4×5矩阵A=(α1,α2,α3,α4,α5)，其中α1,α2,α3,α4,α5均为四维列向量，α1,α2,α4线性无关，又设α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，β=2α1+α2一α3+α4+α5，求Ax=β的通解。
已知4×5矩阵A=(α1,α2,α3,α4,α5)，其中α1,α2,α3,α4,α5均为四维列向量，α1,α2,α4线性无关，又设α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，β=2α1+α2一α3+α4+α5，求Ax=β的通解。
admin
2017-07-10
47
问题
已知4×5矩阵A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
5
)，其中α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,α
5
均为四维列向量，α
1
,α
2
,α
4
线性无关，又设α
3
=α
1
一α
4
，α
5
=α
1
+α
2
+α
4
，β=2α
1
+α
2
一α
3
+α
4
+α
5
，求Ax=β的通解。
选项
答案
由于α
1
，α
2
，α
4
线性无关，α
3
=α
1
一α
4
，α
5
=a
1
+a
2
+a
4
，所以r(A)=3。由已知条件β=2α
1
+α
2
一α
3
+α
4
+α
5
，从而线性方程组Ax=β有特解η=(2，1，一1，1，1)
T
。由α
3
=α
1
一α
4
，α
5
=α
1
+α
2
+α
4
，可知导出组Ax=0的两个线性无关的解为ξ
1
=(1，0，一1，一1，0)
T
，ξ
2
=(1，1，0，1，一1)
T
。由r(A)=3，可知齐次线性方程组Ax=0的基础解系由两个线性无关的解构成，故ξ
1
，ξ
2
为Ax=0的基础解系，方程组Ax=β的通解为x=η+k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
，其中k
1
，k
2
为任意常数。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3lt4777K
0
考研数学二
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[*]
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