2. 专升本
  3. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性： (1) (2))y＝x＋lnx．

判断下列函数在定义域内的有界性及单调性： (1) (2))y＝x＋lnx．

admin2021-08-18  56
问题 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性：
(1)
(2))y＝x＋lnx．
选项
答案(1)函数的定义域为(－∞，＋∞)，当x≤0时，有[*]；当x＞0时，有[*]． 故[*]x∈(－∞，＋∞)有y≤1/2，即函数)，[*]有上界． 又因为函数[*]为奇函数，所以函数的图形关于原点对称．由对称性及函数有上界知，函数必有下界．因而函数[*]有界． 又由y1－y2＝[*]知，当x1＞x2且x1x2＜1时，y1＞y2； 而当x1＞x2且x1x2＞1时，y1＜y2． 故函数[*]在定义域内不单调． (2)函数的定义域为(0，＋∞)． 因为[*]且x1＞M；[*]x1＞eM＞0，使lnx2＞M．取x0＝max{x1，x2}，则有x0＋lnx0＞x1＋Inx2＞2M＞M．所以函数y＝x＋lnx在定义域内是无界的． 又当0＜x1＜x2时，有x1－x2＜0，lnx1－lnx2＜0，故y1－y2＝(x1＋lnx1)－(x2＋lnx2)＝(x1－x2)＋(lnx1－lnx2)＜0，即当O＜x1＜x2时，恒有y1＜y2，所以函数y＝x＋lnx在(0，＋∞)内单调增加．
解析
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