设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr，是其导出组Ax=0的一个基础解系，证明η，ξ1，ξ2，…，ξr，线性无关．

admin2014-10-27 83

问题设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，是其导出组Ax=0的一个基础解系，证明η，ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，线性无关．

选项

答案证一：因为ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，是Ax=0的基础解系．所以ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，线性无关，若η,ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，线性无关，则η必可由ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，线性表出，从而η为Ax=0的解，这与叩为Ax=b的解矛盾，故η，ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，线性无关；证二(反正法)：若η，ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，线性相关，则存在不全为零的数l，k₁，k₂，…，k_r使lη+k₁ξ₁+k₂ξ₂+…+k_rξ_r=0．若l≠0，则 [*] 即η可以由ξ₁，ξ₂，……ξ_r线性表出，由此可得η为Ax=0的解，与已知矛盾，故l=0．从而k₁，k₂，…，k_r不全为零，使k₁ξ₁+k₂ξ₂+……k_rξ_r=0，这表明ξ₁，ξ₂，……ξ_r线性相关，与ξ₁，ξ₂，……ξ_r为Ax=0的基础解系矛盾．所以η，ξ₁，ξ₂，……ξ_r线性无关．

解析

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线性代数（经管类）

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设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr，是其导出组Ax=0的一个基础解系，证明η，ξ1，ξ2，…，ξr，线性无关．

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