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设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,ξ2,…,ξr,是其导出组Ax=0的一个基础解系,证明η,ξ1,ξ2,…,ξr,线性无关.
设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,ξ2,…,ξr,是其导出组Ax=0的一个基础解系,证明η,ξ1,ξ2,…,ξr,线性无关.
admin
2014-10-27
67
问题
设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
,是其导出组Ax=0的一个基础解系,证明η,ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
,线性无关.
选项
答案
证一:因为ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
,是Ax=0的基础解系.所以ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
,线性无关,若η,ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
,线性无关,则η必可由ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
,线性表出,从而η为Ax=0的解,这与叩为Ax=b的解矛盾,故η,ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
,线性无关; 证二(反正法):若η,ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
r
,线性相关,则存在不全为零的数l,k
1
,k
2
,…,k
r
使lη+k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
r
ξ
r
=0.若l≠0,则 [*] 即η可以由ξ
1
,ξ
2
,……ξ
r
线性表出,由此可得η为Ax=0的解,与已知矛盾,故l=0.从而k
1
,k
2
,…,k
r
不全为零,使k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+……k
r
ξ
r
=0,这表明ξ
1
,ξ
2
,……ξ
r
线性相关,与ξ
1
,ξ
2
,……ξ
r
为Ax=0的基础解系矛盾.所以η,ξ
1
,ξ
2
,……ξ
r
线性无关.
解析
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本试题收录于:
线性代数(经管类)题库公共课分类
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线性代数(经管类)
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