2. 自考
  3. 设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr，是其导出组Ax=0的一个基础解系，证明η，ξ1，ξ2，…，ξr，线性无关．

设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr，是其导出组Ax=0的一个基础解系，证明η，ξ1，ξ2，…，ξr，线性无关．

admin2014-10-27  94
问题 设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr，是其导出组Ax=0的一个基础解系，证明η，ξ1，ξ2，…，ξr，线性无关．
选项
答案证一：因为ξ1，ξ2，…，ξr，是Ax=0的基础解系．所以ξ1，ξ2，…，ξr，线性无关，若η,ξ1，ξ2，…，ξr，线性无关，则η必可由ξ1，ξ2，…，ξr，线性表出，从而η为Ax=0的解，这与叩为Ax=b的解矛盾，故η，ξ1，ξ2，…，ξr，线性无关； 证二(反正法)：若η，ξ1，ξ2，…，ξr，线性相关，则存在不全为零的数l，k1，k2，…，kr使lη+k1ξ1+k2ξ2+…+krξr=0．若l≠0，则 [*] 即η可以由ξ1，ξ2，……ξr线性表出，由此可得η为Ax=0的解，与已知矛盾，故l=0．从而k1，k2，…，kr不全为零，使k1ξ1+k2ξ2+……krξr=0，这表明ξ1，ξ2，……ξr线性相关，与ξ1，ξ2，……ξr为Ax=0的基础解系矛盾．所以η，ξ1，ξ2，……ξr线性无关．
解析
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线性代数（经管类）

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