设A，B均为n阶矩阵，A可逆且A～B，则下列命题中： ①AB～BA； ②A2～B2； ③AT～BT； ④A一1～B一1．正确命题的个数为 ( )

admin2019-03-14 45

问题设A，B均为n阶矩阵，A可逆且A～B，则下列命题中：
①AB～BA；
②A²～B²；
③A^T～B^T；
④A^一1～B^一1．
正确命题的个数为 ( )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析由A～B可知：存在可逆矩阵P，使得P^一1AP=B．故
P^一1A²P=B²，P^TA^T(P^T)^一1=B^T，P^一1A^一1P=B^一1，
所以A²～B²，A^T～B^T，A^一1～B^一1．又由于A可逆，可知A^一1(AB)A=BA，故AB～BA．故正确的命题有4个，选(D)．

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