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设f(χ)在[0,1]上可导,f(0)=0,|f′(χ)|≤|f(χ)|.证明:f(χ)≡0,χ[0,1].
设f(χ)在[0,1]上可导,f(0)=0,|f′(χ)|≤|f(χ)|.证明:f(χ)≡0,χ[0,1].
admin
2017-09-15
60
问题
设f(χ)在[0,1]上可导,f(0)=0,|f′(χ)|≤
|f(χ)|.证明:f(χ)≡0,χ[0,1].
选项
答案
因为f(χ)在[0,1]上可导,所以f(χ)在[0,1]上连续,从而|f(χ)|在[0,1]上连续,故|f(χ)|在[0,1]上取到最大值M,即存在χ
0
∈[0,1],使得|f(χ
0
)|=M. 当χ
0
=0时,则M=0,所以f(χ)≡0,χ∈[0,1]; 当χ
0
≠0 时,M=|f(χ
0
)|=|f(χ
0
)-f(0)|=|f′(ξ)|χ
0
≤[*], 其中ξ∈(0,χ
0
),故M=0,于是f(χ)≡0,χ∈[0,1].
解析
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考研数学二
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