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  3. 设二阶常系数齐次线性微分方程yˊˊ+byˊ+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是 ( )

设二阶常系数齐次线性微分方程yˊˊ+byˊ+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是 ( )

admin2017-10-12  59
问题 设二阶常系数齐次线性微分方程yˊˊ+byˊ+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是    (    )
选项 A、[0，+∞)
B、(－∞，0]
C、(－∞，4]
D、(－∞，+∞)
答案A
解析 因为当b≠±2时，y(x)=，所以，当b2－4＞0时，要想使y(x)在区间(0，+∞)上有界，只需要b+≥0，且b－≥0，即b＞2；
当b2－4＜0时，要想使y(x)在区间(0，+∞)上有界，只需要b+与b－的实部大于等于零，即0≤b＜2．
当b=2时，y(x)=C1e－x+C2xe－x在区间(0，+∞)上有界；
当b=－2时，y(x)=C1ex+C2xex(C12+C22≠0)在区间(0，+∞)上无界．综上所述，当且仅当b≥0时，方程yˊˊ+byˊ+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，故选(A)．
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考研数学三

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