设二阶常系数齐次线性微分方程yˊˊ+byˊ+y=0的每一个解y(x)都在区间(0,+∞)上有界,则实数b的取值范围是 ( )

admin2017-10-12  64

问题 设二阶常系数齐次线性微分方程yˊˊ+byˊ+y=0的每一个解y(x)都在区间(0,+∞)上有界,则实数b的取值范围是    (    )

选项 A、[0,+∞)
B、(-∞,0]
C、(-∞,4]
D、(-∞,+∞)

答案A

解析 因为当b≠±2时,y(x)=,所以,当b2-4>0时,要想使y(x)在区间(0,+∞)上有界,只需要b+≥0,且b-≥0,即b>2;
当b2-4<0时,要想使y(x)在区间(0,+∞)上有界,只需要b+与b-的实部大于等于零,即0≤b<2.
当b=2时,y(x)=C1e-x+C2xe-x在区间(0,+∞)上有界;
当b=-2时,y(x)=C1ex+C2xex(C12+C22≠0)在区间(0,+∞)上无界.综上所述,当且仅当b≥0时,方程yˊˊ+byˊ+y=0的每一个解y(x)都在区间(0,+∞)上有界,故选(A).
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