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确定常数a,使向量组α1=(1,1,a)T,α2=(1,n,1)T,α3=(a,1,1)T可由向 量组β1=(1,l,a)T,β2=(-2,a,4)T,β3=(-2,a,a)T线性表示,但向量组β1,β2,β3不能由向量组α1,α2,α3线性表示.
确定常数a,使向量组α1=(1,1,a)T,α2=(1,n,1)T,α3=(a,1,1)T可由向 量组β1=(1,l,a)T,β2=(-2,a,4)T,β3=(-2,a,a)T线性表示,但向量组β1,β2,β3不能由向量组α1,α2,α3线性表示.
admin
2014-05-19
69
问题
确定常数a,使向量组α
1
=(1,1,a)
T
,α
2
=(1,n,1)
T
,α
3
=(a,1,1)
T
可由向
量组β
1
=(1,l,a)
T
,β
2
=(-2,a,4)
T
,β
3
=(-2,a,a)
T
线性表示,但向量组β
1
,β
2
,β
3
不能由向量组α
1
,α
2
,α
3
线性表示.
选项
答案
方法一: 因为α
1
,α
2
,α
3
可由向量组β
1
,β
2
,β
3
线性表示,故三个方程组 x
1
β
1
+x
2
β
2
+x
3
β
3
=α
i
(i=l,2,3) 均有解.对增广矩阵作初等行变换,有 [*] 可见a≠4且a≠-2时,α
1
,α
2
,α
3
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示. 向量组β
1
,β
2
,β
3
不能由向量组α
1
,α
2
,α
3
线性表示,即有方程组 x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β
j
(j=l,2,3)无解.对增广矩阵作初等行变换,有 [*] 可见a=1或a=-2时,β
2
,β
3
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示. 因此a=1时向量组α
1
,α
2
,α
3
可由向量组β
1
,β
2
,β
3
线性表示,但β
1
,β
2
,β
3
不能由口α
1
,α
2
,α
3
线性表示. 方法二: 因为α
1
,α
2
,α
3
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表出,所以r(α
1
,α
2
,α
3
)≤r(β
1
,β
2
,β
3
),又因β
1
,β
2
,β
3
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,故必有r(α
1
,α
2
,α
3
)
1,β
2
,β
3
).于是r(α
1
,α
2
,α
3
)<3. 由丨α
1
,α
2
,α
3
丨=[*]=-(a-1)
2
(a+2)=0,解出a=1或a=-2. 而(β
1
,β
2
,β
3
)=[*] 当z=-2时,r(α
1
,α
2
,α
3
)=2,r(β
1
,β
2
,β
3
)=2,不满足r(α
1
,α
2
,α
3
)
1,β
2
,β
3
),故a=-2应舍去. 当a=1时,α
1
=α
2
=α
3
=β
1
,可见α
1
,α
2
,α
3
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表出.但β
2
=(-2,1,4)
T
,β
3
=(-2,1,1)
T
不能由α
1
,α
2
,α
3
(1,1,1)
T
线性表出,因此a=1为所求.
解析
若方程组x
1
β
1
+x
2
β
2
+x
3
β
3
=α
i
有解,则α
i
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示,若方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β
j
无解,则β
j
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示.
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考研数学三
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